-Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaïxo, através do Método de Jacobi.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
4x+y+z+w=7, 2x-8y+z-w=-16, x+2y-5z+w=6, x+y+z-4w=-1,
por meio do Método de Jacobi, começando com
x^(0) = [0;0;0;0]^T
e critério de parada varepsilon<10^-2. Vamos usar a forma iterativa de Jacobi para sistemas lineares com matriz diagonalmente dominante.

Passo 2

Da equação i isolamos a incógnita xi em função das outras no passo k. Assim obtemos as fórmulas de iteração
x^(k+1) &= tfrac14l(7 - (y^(k)+z^(k)+w^(k))r), y^(k+1) &= tfrac1-8l(-16 - (2x^(k)+z^(k)-w^(k))r) = tfrac18l(16 +2x^(k)+z^(k)-w^(k)r), z^(k+1) &= tfrac1-5l(6 - (x^(k)+2y^(k)+w^(k))r) = tfrac15l(x^(k)+2y^(k)+w^(k)-6r), w^(k+1) &= tfrac1-4l(-1 - (x^(k)+y^(k)+z^(k))r) = tfrac14l(1 + x^(k)+y^(k)+z^(k)r)

Passo 3

Verificamos que a matriz de coeficientes é estritamente diagonalmente dominante, pois
,|4|>1+1+1,
,|-8|>2+1+1,
,|-5|>1+2+1,
,|-4|>1+1+1.
Logo o método de Jacobi converge.

Passo 4

Aplicando iterativamente e calculando a norma infinita da diferença |x^(k)-x^(k-1)|infty, chegamos aos seguintes vetores (arredondados a 6 casas):
x^(1)&=[1.750000,;2.000000,;-1.200000,;0.250000]^T, x^(2)&=[1.487500,;2.256250,;0.000000,;0.887500]^T, x^(3)&=[0.964063,;2.260938,;0.177500,;1.185938]^T, x^(4)&=[0.843906,;2.114961,;0.134375,;1.100625]^T, x^(5)&=[0.912510,;2.090195,;0.034891,;1.023311]^T, x^(6)&=[0.962901,;2.104575,;0.023242,;1.009399]^T, x^(7)&=[0.965696,;2.117456,;0.036289,;1.022680]^T, x^(8)&=[0.955894,;2.118125,;0.044657,;1.029860]^T
No passo 8 temos
|x^(8)-x^(7)|inftyapprox0,0098<10^-2,
então paramos aqui.

Resposta

xapprox 0,9559 2,1181 0,0447 1,0299

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