Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura.
y=x \ln x

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de y = x\ln x usando a Fórmula 11, que em coordenadas cartesianas para uma função y=f(x) é
\kappa(x) \;=\;\frac{\lvert y''(x)\rvert}{\bigl(1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Para aplicar, vamos calcular y' e y''.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de y=x\ln x usando a regra do produto:
y'(x) \;=\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\bigr)\cdot\ln x \;+\;x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(\ln x\bigr) \;=\;1\cdot\ln x \;+\;x\cdot\frac{1}{x} \;=\;\ln x \;+\;1.

Passo 3

Agora a segunda derivada:
y''(x) \;=\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(\ln x + 1\bigr) \;=\;\frac{1}{x}.

Passo 4

Substituímos na Fórmula 11. Como x>0, tem-se \lvert y''(x)\rvert=1/x, logo
\kappa(x) =\frac{\tfrac{1}{x}}{\bigl(1+(\ln x+1)^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{1}{x\,\bigl(1+(\ln x+1)^{2}\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\kappa(x) =\frac{1}{x\,\bigl(1+(\ln x+1)^{2}\bigr)^{3/2}}.

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