Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+9 t \mathbf{j}+4 t^{2 / 2} \mathbf{k}, \quad 1 \leqslant t \leqslant 4

Passo 1

O enunciado dá a curva
\mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+9t\,\mathbf{j}+4t^{2/2}\,\mathbf{k}
no intervalo 1\le t\le4 e pede o comprimento de arco. O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de curva paramétrica: precisamos derivar \mathbf{r}(t), calcular sua norma e integrar de t=1 a t=4.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente. Como 4t^{2/2}=4t, temos
\mathbf{r}(t)=(t^{2},\,9t,\,4t)
então
\mathbf{r}'(t)=\bigl(2t,\;9,\;4\bigr).

Passo 3

A norma de \mathbf{r}'(t) é
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|=\sqrt{(2t)^{2}+9^{2}+4^{2}} =\sqrt{4t^{2}+81+16} =\sqrt{4t^{2}+97}.

Passo 4

O comprimento de arco é dado por
L=\int_{1}^{4}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt =\int_{1}^{4}\sqrt{4t^{2}+97}\,dt.

Passo 5

Para calcular a integral, usamos a fórmula
\int\sqrt{a\,t^{2}+b}\,dt =\frac{t}{2}\sqrt{a\,t^{2}+b}+\frac{b}{2\sqrt{a}}\ln\!\bigl(\sqrt{a}\,t+\sqrt{a\,t^{2}+b}\bigr)+C,
com a=4 e b=97. Assim uma primitiva é
F(t)=\frac{t}{2}\sqrt{4t^{2}+97}+\frac{97}{4}\ln\!\bigl(2t+\sqrt{4t^{2}+97}\bigr).

Passo 6

Avaliando de 1 a 4:
L=F(4)-F(1) = \Bigl[2\sqrt{161}\Bigr] - \Bigl[\tfrac{1}{2}\sqrt{101}\Bigr] +\frac{97}{4}\Bigl[\ln(8+\sqrt{161})-\ln(2+\sqrt{101})\Bigr].

Resposta

L=2\sqrt{161}-\tfrac{1}{2}\sqrt{101} +\frac{97}{4}\ln\!\frac{8+\sqrt{161}}{2+\sqrt{101}}.

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