1^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int\left(2 x^{3}-x^{2}+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (primitiva) de
f(x) = 2x^{3} - x^{2} + 3
ou seja, calcular
\int\bigl(2x^{3} - x^{2} + 3\bigr)\,dx.
Para isso vamos usar a regra de potência
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
e a linearidade da integral (podemos separar soma e fator constante).

Passo 2

Separemos a integral em três partes:
\int\bigl(2x^{3} - x^{2} + 3\bigr)\,dx = \int 2x^{3}\,dx \;-\;\int x^{2}\,dx \;+\;\int 3\,dx.

Passo 3

Cada parte fica:
\int 2x^{3}\,dx = 2\int x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{2}.

Passo 4

\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},
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-\int x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

\int 3\,dx = 3x.

Passo 6

Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva:
\frac{x^{4}}{2} \;-\;\frac{x^{3}}{3} \;+\;3x \;+\;C.

Resposta

\frac{1}{2}x^{4} \;-\;\frac{1}{3}x^{3} \;+\;3x \;+\;C

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