(a) Obtenha uma representação em série de potências para
.
(b) Use o resultado do item a) e obtenha uma representação em série de potências para
.
(b) Use o resultado do item a) e obtenha uma representação em série de potências para
Passo 1
O enunciado pede para expandir em série de potências
e, usando esse resultado, expandir
. O assunto é séries geométricas e derivação de séries; vamos usar a fórmula de
e derivada termo a termo.
Passo 2
A série geométrica básica afirma que, para
, vale
Passo 3
Para obter
, basta tomar
. Assim,
Passo 4
Para ampliar para
, usamos que
é dizer,
Passo 5
Derivando termo a termo a série
, obtemos
que, reindexando (ou multiplicando por
), leva a
Resposta
As expansões em série de potências são: