(a) Obtenha uma representação em série de potências para 11-2 x.
(b) Use o resultado do item a) e obtenha uma representação em série de potências para 1(1-2 x)^2.

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de potências 11-2x e, usando esse resultado, expandir 1(1-2x)^2. O assunto é séries geométricas e derivação de séries; vamos usar a fórmula de 11-z e derivada termo a termo.

Passo 2

A série geométrica básica afirma que, para |z|<1, vale
11-z=sumn=0^infty z^n

Passo 3

Para obter 11-2x, basta tomar z=2x. Assim,
11-2x=sumn=0^infty(2x)^n=sumn=0^infty2^n x^n

Passo 4

Para ampliar para 1(1-2x)^2, usamos que
ddxl(11-2xr)=2(1-2x)^2,
é dizer,
1(1-2x)^2=12ddxl(11-2xr)

Passo 5

Derivando termo a termo a série sumn=0^infty2^n x^n, obtemos
sumn=1^infty n2^n x^n-1
que, reindexando (ou multiplicando por 1/2), leva a
1(1-2x)^2=sumn=0^infty(n+1)2^n x^n

Resposta

As expansões em série de potências são:
11-2x=sumn=0^infty2^n x^n,
1(1-2x)^2=sumn=0^infty(n+1)2^n x^n

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