Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e, em seguida, derivadas de derivadas parciais, que são as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Aqui, temos duas variáveis:
e
. Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Desta vez, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente cada uma das derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
Passo 6
Vamos começar com
, que é a derivada de
em relação a
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 8
De maneira similar, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 9
Finalmente, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são: