a Questão.(3,0 pontos) Considere o PVI
4 y'' - 8 y' + 3 y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1/2
(b) Esboce o gráfico da solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver e esboçar o gráfico da solução, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os parâmetros específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática para encontrar os valores de :
Então, temos duas raízes reais distintas:

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicando as condições iniciais e :
Primeiro, para :
Agora, derivando :
Aplicando :

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Multiplicando a segunda equação por 2 para facilitar:
Subtraindo a primeira equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, substituímos e na solução geral:

Passo 8

Para esboçar o gráfico, observamos que a solução é a combinação de duas exponenciais. Como os expoentes são positivos, a função irá crescer com o tempo, mas a taxa de crescimento de cada termo é diferente:
  • O termo cresce mais rapidamente, mas é negativo.
  • O termo cresce mais lentamente e é positivo.
Inicialmente, o valor de , e à medida que aumenta, o termo negativo começa a dominar, fazendo com que a função eventualmente diminua após um certo ponto.

Resposta

O gráfico da solução começa no ponto , cresce lentamente inicialmente devido ao termo , mas como o termo cresce negativamente mais rápido, eventualmente o gráfico começa a decrescer. Portanto, o esboço mostra uma curva que sobe suavemente no início e depois cai à medida que o termo negativo se torna dominante.

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