Questão.(3,0 pontos) Considere o PVI
(b) Esboce o gráfico da solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver e esboçar o gráfico da solução, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os parâmetros específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática para encontrar os valores de
:
Então, temos duas raízes reais distintas:
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicando as condições iniciais
e
:
Primeiro, para
:
Agora, derivando
:
Aplicando
:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Multiplicando a segunda equação por 2 para facilitar:
Subtraindo a primeira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Passo 8
Para esboçar o gráfico, observamos que a solução é a combinação de duas exponenciais. Como os expoentes são positivos, a função irá crescer com o tempo, mas a taxa de crescimento de cada termo é diferente:
- O termo
cresce mais rapidamente, mas é negativo. - O termo
cresce mais lentamente e é positivo.
Inicialmente, o valor de
, e à medida que
aumenta, o termo negativo começa a dominar, fazendo com que a função eventualmente diminua após um certo ponto.
Resposta
O gráfico da solução
começa no ponto
, cresce lentamente inicialmente devido ao termo
, mas como o termo
cresce negativamente mais rápido, eventualmente o gráfico começa a decrescer. Portanto, o esboço mostra uma curva que sobe suavemente no início e depois cai à medida que o termo negativo se torna dominante.