Expresse partial fpartial u e partial fpartial v como funções de u e v usando a regra da cadeia e também expressando f diretamente em termos de u e v antes de diferenciar. Depois calcular partial fpartial u e partial fpartial v no ponto dado (u, v).
a) f(x, y)=4 e^x ln y, x=ln (u cos v), y=u sen v, (u, v)=(2, pi4),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. A função dada é , onde e . Além disso, precisamos calcular essas derivadas no ponto . Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para funções compostas e calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar f(u, v) = 4 e^ln(u cos v) ln(u sen v) diretamente em termos de f(u, v) = 4 (u cos v) ln(u sen v) e . Substituindo e na função original:
Sabemos que , então simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial u = 4 [ cos v cdot ln(u sen v) + (u cos v) cdot 1u sen v cdot sen v ] em relação a partial fpartial u = 4 [ cos v cdot ln(u sen v) + cos v ] , ou seja, partial fpartial u = 4 cos v [ ln(u sen v) + 1 ] . Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, diferencie em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial v = 4 [ -u sen v cdot ln(u sen v) + u cos v cdot 1u sen v cdot u cos v ] em relação a partial fpartial v = 4 [ -u sen v cdot ln(u sen v) + u cos^2 vsen v ] , ou seja, partial fpartial v = 4 [ -u sen v ln(u sen v) + u cos^2 vsen v ] .
Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos calcular os valores no ponto partial fpartial ug|(2, pi4) = 4 cdot raiz22 [ ln(2 cdot raiz22) + 1 ] .
Primeiro, calculemos partial fpartial u = 2raiz2 [ ln(raiz2) + 1 ] e .
Substituindo esses valores na expressão de partial fpartial u = 2raiz2 ( 12 ln 2 + 1 ) = 2raiz2 (1 + ln 22) :
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular partial fpartial vg|(2, pi4) = 4 [ -2 cdot raiz22 ln(2 cdot raiz22) + 2 cdot (raiz22)^2raiz22 ] no ponto partial fpartial v = 4 [ -raiz2 ln(raiz2) + 2 cdot 24raiz22 ] :
partial fpartial v = 4 [ -raiz2 cdot 12 ln 2 + 2 cdot 12raiz22 ]
Simplificando:
partial fpartial v = 4 [ -raiz22 ln 2 + 2 cdot 1raiz2 ] = 4 [ -raiz22 ln 2 + 2raiz2 ]
partial fpartial v = 4 [ -raiz22 ln 2 + raiz2 ] = 4raiz2 [ -12 ln 2 + 1 ] = 4raiz2 (1 - ln 22)
Simplificando mais:

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial fpartial u = 2raiz2 (1 + ln 22) são:
partial fpartial v = 4raiz2 (1 - ln 22)

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