Expresse e como funções de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois calcular no ponto dado .
a) ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. A função dada é , onde e . Além disso, precisamos calcular essas derivadas no ponto . Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para funções compostas e calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar diretamente em termos de e . Substituindo e na função original:
Sabemos que , então simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, diferencie em relação a :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos calcular os valores no ponto .