Use a regra da cadeia para calcular partial zpartial s e partial zpartial t.
b) z=sen x cos y, x=s t^2, y=s^2 t,

Passo 1

No enunciado, temos a função , onde e . Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar calculando partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s . A regra da cadeia nos diz que:

Passo 3

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial zpartial x = cos x cos y em relação a partial zpartial y = -sin x sin y e :

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas de partial xpartial s = t^2 e partial ypartial s = 2 s t em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
partial zpartial s = (cos x cos y) cdot t^2 + (-sin x sin y) cdot 2 s t
partial zpartial s = t^2 cos x cos y - 2 s t sin x sin y

Passo 6

Agora, vamos calcular partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t usando a mesma regra da cadeia:

Passo 7

Calculamos as derivadas de partial xpartial t = 2 s t e partial ypartial t = s^2 em relação a :

Passo 8

Substituindo essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
partial zpartial t = (cos x cos y) cdot 2 s t + (-sin x sin y) cdot s^2
partial zpartial t = 2 s t cos x cos y - s^2 sin x sin y

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = t^2 cos x cos y - 2 s t sin x sin y
partial zpartial t = 2 s t cos x cos y - s^2 sin x sin y

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