1^{\circ} ) Escreva a equaçāo vetorial da reta que passa pelo ponto P=(-2,0,5) e é paralela a reta
r:\left\{\begin{array}{r} x=1+2 t \\\ y=4-t \\\ z=6+2 t \end{array}\right.
para todo t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um ponto P\) com coordenadas \(P = (-2,0,5)\). - Uma reta \(r\) descrita parametricamente por \[\begin{cases} x=1+2t\\[4pt] y=4-t\\[4pt] z=6+2t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
O que se pede: escrever a equação vetorial da reta que passa por P\] e é paralela à reta \(r. Ou seja, preciso de uma equação vetorial que represente a reta buscada.]

Passo 2

Para encontrar a reta paralela a r eu preciso do vetor direção de r. Observe as expressões paramétricas de r: os coeficientes multiplicando t são as componentes do vetor direção. Assim, a reta r pode ser escrita como vetor posição inicial mais t vezes o vetor direção:
r:\quad \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]6\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Logo o vetor direção de r é
\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Conceito chave (explicando devagar): a equação vetorial de uma reta que passa por um ponto com vetor posição \vec{r_0} e tem vetor direção \vec{v} tem a forma
\vec{r}(s)=\vec{r_0}+s\,\vec{v},\qquad s\in\mathbb{R},
onde:
  • \vec{r}(s) é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta (função do parâmetro s);
  • \vec{r_0} é o vetor posição de um ponto conhecido da reta (aqui é o ponto dado P);
  • \vec{v} é o vetor direção (define a inclinação/declive da reta);
  • s é o parâmetro real que varre a reta.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • o vetor posição do ponto dado P é
\vec{r_0}=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]0\\[2pt]5\end{pmatrix},
pois peguei as coordenadas do ponto P fornecido no enunciado;
  • e já encontramos o vetor direção da reta r:
\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Como a reta procurada deve ser paralela a r, ela tem exatamente esse mesmo vetor direção \vec{v}.]

Passo 5

Substituindo \vec{r_0} e \vec{v} na fórmula da reta, obtemos a equação vetorial da reta que passa por P e é paralela a r. Esta é a resposta final preparada para conferência.

Resposta

\vec{r}(s)=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]0\\[2pt]5\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}]

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