1^{\circ} Exercício \rightarrow Distribuição binomial

  • A probabilidade do sucesso de uma semente germinar é p=0,9. Determine a probabilidade de germinação em uma amostra de tamanho n=4, de todas as possibilidades de realizações de uma variável aleatória X, definida pelo número de sementes germinadas na amostra.

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de sucesso (germinar) é p=0,9 e que temos uma amostra de tamanho n=4. Definimos a variável aleatória X como o número de sementes germinadas nessa amostra e queremos encontrar P(X=k) para k=0,1,2,3,4. O conteúdo é distribuição binomial.

Passo 2

Para uma variável binomial X\sim \mathrm{Binomial}(n,p) vale a fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
Aqui n=4, p=0,9 e 1-p=0,1. Portanto
P(X=k)=\binom{4}{k}\,(0,9)^{k}\,(0,1)^{4-k}.

Passo 3

Para k=0:
P(X=0)=\binom{4}{0}(0,9)^{0}(0,1)^{4} =1\cdot1\cdot(0,1)^{4} =0,0001.

Passo 4

Para k=1:
P(X=1)=\binom{4}{1}(0,9)^{1}(0,1)^{3} =4\cdot0,9\cdot0,001 =0,0036.

Passo 5

Para k=2:
P(X=2)=\binom{4}{2}(0,9)^{2}(0,1)^{2} =6\cdot0,81\cdot0,01 =0,0486.

Passo 6

Para k=3:
P(X=3)=\binom{4}{3}(0,9)^{3}(0,1)^{1} =4\cdot0,729\cdot0,1 =0,2916.

Passo 7

Para k=4:
P(X=4)=\binom{4}{4}(0,9)^{4}(0,1)^{0} =1\cdot0,6561\cdot1 =0,6561.

Resposta

P(X=0)=0,0001 P(X=1)=0,0036 P(X=2)=0,0486 P(X=3)=0,2916 P(X=4)=0,6561

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