5^{\circ} Exercício \rightarrow Distribuição normal

- Uma população de entrevistadores, após um período de treinamento, foi submetida a um teste padronizado de avaliação de conhecimentos adquiridos, obtendo média 100 e desvio-padrão 10. Se presumirmos que as notas distribuídas normalmente, calcule as probabilidades:
  • P(100<X<120);
  • P(X>120) ;
  • P(X<125) ;
  • P(85<X<115);

Passo 1

O enunciado diz que as notas X seguem uma distribuição normal com média \mu=100 e desvio-padrão \sigma=10. Precisamos calcular quatro probabilidades para X. Para isso, vamos usar a padronização para a normal padrão e consultar valores da função de distribuição acumulada \Phi(z).

Passo 2

Para qualquer valor x, definimos a variável padronizada
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 100}{10}.
Assim, P(a < X < b) = P\Bigl(\frac{a-100}{10} < Z < \frac{b-100}{10}\Bigr) e P(X < c)=\Phi\bigl(\frac{c-100}{10}\bigr), P(X>c)=1-\Phi\bigl(\frac{c-100}{10}\bigr).

Passo 3

Calcular P(100 < X < 120).
Padronizando:
P(100<X<120)=P\bigl(0<Z<2\bigr)=\Phi(2)-\Phi(0).
Sabendo que \Phi(2)=0,9772 e \Phi(0)=0,5, resulta
P(100<X<120)=0,9772 - 0,5 = 0,4772.

Passo 4

Calcular P(X>120).
Usamos
P(X>120)=1-\Phi\Bigl(\frac{120-100}{10}\Bigr)=1-\Phi(2)=1-0,9772=0,0228.

Passo 5

Calcular P(X<125).
Aqui
P(X<125)=\Phi\Bigl(\frac{125-100}{10}\Bigr)=\Phi(2,5)=0,9938.

Passo 6

Calcular P(85 < X < 115).
Padronizando os extremos:
\frac{85-100}{10}=-1,5,\quad \frac{115-100}{10}=1,5,
então
P(85<X<115)=\Phi(1,5)-\Phi(-1,5)=0,9332 - 0,0668 = 0,8664.

Resposta

P(100<X<120)=0,4772 P(X>120)=0,0228 P(X<125)=0,9938 P(85<X<115)=0,8664

Exercícios relacionados