Uma fábrica de material elétrico produz lâmpadas que têm duração de vida com distribuição aproximadamente normal, com média igual a 800 horas e desvio padrão de 40 horas. Encontre a probabilidade de que uma amostra de aleatória de 16 lâmpadas tenha média menor do que 775 horas.

Passo 1

O enunciado diz que a duração de vida das lâmpadas é aproximadamente normal com média \mu=800 horas e desvio padrão \sigma=40 horas. Queremos a probabilidade de que a média amostral de tamanho n=16 seja menor que 775 horas. O conteúdo envolvido é a distribuição da média amostral de uma população normal.

Passo 2

Quando a população é normal, a média amostral \overline{X} também é normal com
\mathrm{E}(\overline{X}) = \mu = 800,
\mathrm{SD}(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{16}} = 10.

Passo 3

Padronizamos para usar a tabela da normal padrão. Seja
Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\overline{X}-800}{10}.
Queremos
P\bigl(\overline{X}<775\bigr) = P\!\Bigl(Z<\frac{775-800}{10}\Bigr) = P\bigl(Z< -2{,}5\bigr).

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão, temos
P(Z< -2{,}5)\approx 0{,}0062.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0{,}0062 (ou 0{,}62\%).

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