Uma marca de pneus divulga que a duração média (tempo de vida) de um determinado modelo é de 45 mil km , com desvio padrão de 7 mil km . Como foi alterada a composição na fabricação, o fabricante decide avaliar se teve alguma alteração na duração a partir de testagem de uma amostra aleatória de 16 conjuntos, em automóveis
escolhidos ao acaso dentre um grupo. Use um Teste de Hipóteses para avaliar se houve alguma alteração na duração do pneu. Considere que a média amostral resultante foi de 42 mil km. (use nível de significância de \alpha=0.

Passo 1

O enunciado informa que, sob hipótese nula, a duração média dos pneus é de 45000 km com desvio-padrão populacional de 7000 km. A partir de uma amostra aleatória de n=16 conjuntos, obteve-se \bar x=42\,000 km. Vamos testar
H_0:\mu=45\quad\text{versus}\quad H_1:\mu\neq45
ao nível de significância \alpha=0,05, usando o teste Z (pois \sigma é conhecido).

Passo 2

Sob H_0, a estatística de teste é
Z \;=\;\frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
que segue a distribuição normal padrão \mathcal N(0,1).

Passo 3

Substituindo \bar x=42 (mil km), \mu_0=45, \sigma=7 e n=16, temos
Z = \frac{42 - 45}{7/\sqrt{16}} = \frac{-3}{7/4} = \frac{-3}{1,75} \approx -1,714.

Passo 4

Para \alpha=0,05 e teste bilateral, os críticos são \pm z_{0,975}=\pm1,96. Como
-1,96 \;<\; -1,714 \;<\; 1,96,
a estatística cai na região de não rejeição. O p-valor também confirma:
\text{p-valor} =2\,P(Z\le -1,714)\approx2\times0,0434=0,0868>0,05.

Resposta

Não rejeitamos H_0. Não há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a duração média dos pneus tenha se alterado.

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