4^{\circ} ) Os lados de um triângulo A B C são os seguintes: A B=5, A C=8 e B C=5. Determine o seno do ângulo \hat{\mathrm{A}}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com lados AB=5, AC=8 e BC=5, e pede o seno do ângulo \hat A. O conteúdo de matéria envolvido é trigonometria em triângulos: usaremos a Lei dos Cossenos para determinar \cos A e em seguida a identidade \sin^2A+\cos^2A=1 para obter \sin A.

Passo 2

Identificamos os lados em notação padrão de trigonometria:
o lado oposto ao vértice A é
a = BC = 5,
ao vértice B é
b = AC = 8,
e ao vértice C é
c = AB = 5.

Passo 3

Aplicamos a Lei dos Cossenos para encontrar \cos A:
a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\cos A.
Substituindo a=5, b=8, c=5:
25 = 64 + 25 - 2\cdot8\cdot5\cos A
25 = 89 - 80\cos A
80\cos A = 64
\cos A = \frac{64}{80} = \frac{4}{5}.

Passo 4

Agora usamos a identidade trigonométrica para obter \sin A. Como \cos A>0, o ângulo A é agudo e \sin A será positivo:
\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}
\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2}
\sin A = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.

Resposta

\sin A = \frac{3}{5}

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