Dar a equação vetorial \mathfrak{e} as equações paramétricas da reta \mathbf{r} determinada pelos pontos \mathrm{A}=(2,1,3) c \mathrm{B}=(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta \mathbf{r} em \mathbb{R}^3 determinada pelos pontos
A = (2,1,3) \quad\text{e}\quad B = (1,1,-1).
Para isso, vamos usar o modelo de reta que, dado um ponto \mathbf{r}_0 e um vetor direção \mathbf{v}, escreve-se
\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Calculamos o vetor direção \overrightarrow{AB} subtraindo as coordenadas de A das de B:
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-2,\;1-1,\;-1-3) = (-1,\;0,\;-4).

Passo 3

Escolhendo A=(2,1,3) como ponto inicial, a equação vetorial da reta fica
\mathfrak{e}:\quad \mathbf{r} = (2,1,3) + t\,(-1,0,-4).

Passo 4

Separamos as componentes da equação vetorial para obter as equações paramétricas:
\begin{cases} x = 2 - t,\\\ y = 1,\\\ z = 3 - 4t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

x = 2 - t,\quad y = 1,\quad z = 3 - 4t,\quad t\in\mathbb{R}.

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