Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) Se \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}, então |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|.
b) Se |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|, então \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}.
c) Se \overrightarrow{\mathrm{u}} // \overrightarrow{\mathrm{v}}, então \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}.
d) Se \vec{u}=\vec{v}, então \vec{u} // \vec{v}.
e) Se \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, então |\vec{w}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|.
f) |\overrightarrow{\mathrm{w}}|=|\overrightarrow{\mathrm{u}}|+|\overrightarrow{\mathrm{v}}|, então \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}} e \overrightarrow{\mathrm{w}} são paralelos.
g) Se \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}, então ABCD (vértices
nesta ordem) é paralelogramo.
h) |5 \overrightarrow{\mathrm{v}}|=|-5 \overrightarrow{\mathrm{v}}|=5|\overrightarrow{\mathrm{v}}|.
i) Os vetores 3 \vec{v} e -4 \vec{v} são paralelos
e de mesmo sentido.
j) \quad Se \overrightarrow{\mathrm{u}} // \overrightarrow{\mathrm{v}},|\overrightarrow{\mathrm{u}}|=2 e |\overrightarrow{\mathrm{v}}|=4, então \vec{v}=2 \vec{u} ou \vec{v}=-2 \vec{u}.
k) \quad Se |\overrightarrow{\mathrm{v}}|=3, o versor de -10 \overrightarrow{\mathrm{v}} é -\frac{\overrightarrow{\mathrm{v}}}{3}.

Passo 1

O enunciado apresenta várias afirmações sobre vetores envolvendo igualdade, norma (módulo), paralelismo, soma, e versores, e pede para decidirmos se cada uma é verdadeira ou falsa. Para isso usaremos definições básicas: vetores iguais têm mesmas componentes (logo mesmo módulo e direção), a norma satisfaz a desigualdade triangular, vetores paralelos são múltiplos escalares, o versor de um vetor é ele dividido pelo seu módulo, e em um paralelogramo vetores de lados opostos são iguais.

Passo 2

Afirmação (a): “Se \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}, então \lvert\overrightarrow{u}\rvert=\lvert\overrightarrow{v}\rvert.”
Como vetores iguais têm componentes iguais, têm o mesmo módulo.
Portanto, (a) é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Se \lvert\overrightarrow{u}\rvert=\lvert\overrightarrow{v}\rvert, então \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}.”
Vetores de mesmo módulo podem ter direções diferentes (por exemplo, \overrightarrow{u}=(1,0) e \overrightarrow{v}=(0,1)) ou sentidos opostos (por exemplo, \overrightarrow{u}=(1,0), \overrightarrow{v}=(-1,0)).
Portanto, (b) é falsa.

Passo 4

Afirmação (c): “Se \overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}, então \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}.”
Paralelismo significa \overrightarrow{u}=k\,\overrightarrow{v} para algum escalar k, que pode ser diferente de 1. Logo não é necessário que k=1.
Portanto, (c) é falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “Se \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}, então \overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}.”
Vetores idênticos são trivialmente múltiplos escalares um do outro (com k=1), ou seja, são paralelos.
Portanto, (d) é verdadeira.

Passo 6

Afirmação (e): “Se \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, então \lvert\overrightarrow{w}\rvert=\lvert\overrightarrow{u}\rvert+\lvert\overrightarrow{v}\rvert.”
A igualdade das normas só ocorre em caso de vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} de mesma direção e mesmo sentido (desigualdade triangular). Em geral não vale.
Portanto, (e) é falsa.

Passo 7

Afirmação (f): “Se \lvert\overrightarrow{w}\rvert=\lvert\overrightarrow{u}\rvert+\lvert\overrightarrow{v}\rvert, então \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} e \overrightarrow{w} são paralelos.”
Sem relação de soma \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, a igualdade de módulos pode acontecer acidentalmente (por exemplo, \lvert(0,2)\rvert=2=1+1 com \overrightarrow{u}=(1,0) e \overrightarrow{v}=(-1,0)) sem que \overrightarrow{w} seja paralelo a \overrightarrow{u} ou \overrightarrow{v}.
Portanto, (f) é falsa.

Passo 8

Afirmação (g): “Se \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, então ABCD é paralelogramo.”
Nos polígonos, lados opostos iguais em vetor indicam lados paralelos e de mesma direção, caracterizando um paralelogramo.
Portanto, (g) é verdadeira.

Passo 9

Afirmação (h): “ \lvert 5\,\overrightarrow{v}\rvert=\lvert -5\,\overrightarrow{v}\rvert=5\,\lvert\overrightarrow{v}\rvert.”
Pela propriedade da norma, \lvert k\,\overrightarrow{v}\rvert=|k|\,\lvert\overrightarrow{v}\rvert. Aqui |5|=|-5|=5.
Portanto, (h) é verdadeira.

Passo 10

Afirmação (i): “Os vetores 3\,\overrightarrow{v} e -4\,\overrightarrow{v} são paralelos e de mesmo sentido.”
Eles são paralelos (são múltiplos de \overrightarrow{v}), mas têm sentidos opostos (um tem fator positivo, outro negativo).
Portanto, (i) é falsa.

Passo 11

Afirmação (j): “Se \overrightarrow{u}\parallel\overrightarrow{v}, \lvert\overrightarrow{u}\rvert=2 e \lvert\overrightarrow{v}\rvert=4, então \overrightarrow{v}=2\,\overrightarrow{u} ou \overrightarrow{v}=-2\,\overrightarrow{u}.”
Paralelismo implica \overrightarrow{v}=k\,\overrightarrow{u} e \lvert k\rvert=\lvert\overrightarrow{v}\rvert/\lvert\overrightarrow{u}\rvert=4/2=2, logo k=2 ou k=-2.
Portanto, (j) é verdadeira.

Passo 12

Afirmação (k): “Se \lvert\overrightarrow{v}\rvert=3, o versor de -10\,\overrightarrow{v} é -\frac{\overrightarrow{v}}{3}.”
O versor de -10\,\overrightarrow{v} é
\frac{-10\,\overrightarrow{v}}{\lvert-10\,\overrightarrow{v}\rvert} =\frac{-10\,\overrightarrow{v}}{10\,\lvert\overrightarrow{v}\rvert} =-\frac{\overrightarrow{v}}{\lvert\overrightarrow{v}\rvert} =-\frac{\overrightarrow{v}}{3}.
Portanto, (k) é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Falsa
g) Verdadeira
h) Verdadeira
i) Falsa
j) Verdadeira
k) Verdadeira

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