Questão 4 Sejam A=(1,3,0), B=(2,6,0), C=(1,3,2) e D=(4,3,2).
(a) (1,0 p t) Calcule a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto D e uma diagonal de extremidades A e B.
(b) (1,0 p t) Determine uma equação da reta que passa pelo ponto D e que seja ortogonal ao plano que contém A, B e C.
(c) (0,5 p t) Calcule o volume da pirâmide $A B C D.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
\,A=(1,3,0), \,B=(2,6,0), \,C=(1,3,2) e \,D=(4,3,2)
e pede:
– (a) área do paralelogramo com um vértice em D e diagonal AB.
– (b) equação da reta que passa por D e é ortogonal ao plano de A,B,C.
– (c) volume da pirâmide ABCD.
Vamos usar geometria vetorial: soma e diferença de pontos para montar o paralelogramo, produto vetorial para área e normal, e produto misto para volume.

Passo 2

Para (a), como AB é uma diagonal e D é um vértice, o quarto vértice do paralelogramo é
E \;=\; A + B - D.
Logo
E = (1+2-4,\;3+6-3,\;0+0-2) \;=\;(-1,6,-2).
Do vértice D saem dois lados do paralelogramo, dados pelos vetores
\overrightarrow{DA} = A - D = (1-4,\;3-3,\;0-2)=(-3,0,-2),
\overrightarrow{DE} = E - D = (-1-4,\;6-3,\;-2-2)=(-5,3,-4).

Passo 3

A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial
\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DE} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -3 & 0 & -2\\\\ -5 & 3 & -4 \end{vmatrix} =(6,\,-2,\,-9),
cuja magnitude é
\sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-9)^2} =\sqrt{36+4+81} =\sqrt{121} =11.
Portanto a área pedida é 11.

Passo 4

Para (b), a reta ortogonal ao plano que contém A,B,C tem direção igual ao vetor normal a esse plano. Tomamos
\overrightarrow{AB}=B-A=(1,3,0), \quad \overrightarrow{AC}=C-A=(0,0,2),
e o normal é
\mathbf{n} =\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =(6,\,-2,\,0).

Passo 5

A reta em D=(4,3,2) com direção \mathbf{n}=(6,-2,0) pode ser escrita em forma paramétrica:
(x,y,z) = (4,3,2) + t\,(6,-2,0), \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Para (c), o volume da pirâmide ABCD (tetraedro) é
V =\frac{1}{6}\Bigl|\bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr)\cdot\overrightarrow{AD}\Bigr|.
Já temos \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(6,-2,0) e
\overrightarrow{AD}=D-A=(4-1,\;3-3,\;2-0)=(3,0,2).
Logo o produto misto é
(6,-2,0)\cdot(3,0,2)=18,
e
V=\frac{1}{6}\times 18=3.

Resposta

(a) \,11.
(b) reta dada por (x,y,z)=(4,3,2)+t\,(6,-2,0),\,t\in\mathbb{R}.
(c) \,3.

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