Questão 4 Sejam A=(1,3,0), B=(2,6,0), C=(1,3,2) e D=(4,3,2).
(a) (1,0 p t) Calcule a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto D e uma diagonal de extremidades A e B.
(b) (1,0 p t) Determine uma equação da reta que passa pelo ponto D e que seja ortogonal ao plano que contém A, B e C.
(c) (0,5 p t) Calcule o volume da pirâmide $A B C D.
Passo 1
O enunciado dá os pontos \,A=(1,3,0), \,B=(2,6,0), \,C=(1,3,2) e \,D=(4,3,2)
e pede:
– (a) área do paralelogramo com um vértice em D e diagonal AB.
– (b) equação da reta que passa por D e é ortogonal ao plano de A,B,C.
– (c) volume da pirâmide ABCD.
Vamos usar geometria vetorial: soma e diferença de pontos para montar o paralelogramo, produto vetorial para área e normal, e produto misto para volume.
Passo 2
Para (a), como AB é uma diagonal e D é um vértice, o quarto vértice do paralelogramo é
E \;=\; A + B - D.
Logo
E = (1+2-4,\;3+6-3,\;0+0-2) \;=\;(-1,6,-2).
Do vértice D saem dois lados do paralelogramo, dados pelos vetores
\overrightarrow{DA} = A - D = (1-4,\;3-3,\;0-2)=(-3,0,-2),
\overrightarrow{DE} = E - D = (-1-4,\;6-3,\;-2-2)=(-5,3,-4).
Passo 3
A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial