Questão 4. Calcule o fluxo do rotacional do campo vetorial vec{F}(x, y, z) através da superfície σ nos seguntes casos:
vec{F}(x, y, z)=x \vec{j} e z=x^{2}+y^{2}, com x^{2}+y^{2} \leq 4 sendo \vec{n} a normal unitária apontado para baixo;

Passo 1

O enunciado nos dá \vec F(x,y,z)=x\,\vec j e a superfície \sigma definida por
z = x^2 + y^2,\quad x^2+y^2\le4,
com a normal unitária \vec n apontando para baixo. O que se pede é o fluxo de \nabla\times\vec F através de \sigma.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \vec F. Como \vec F=(0,x,0), pelo determinante de Levi-Civita ou pela fórmula
\nabla\times\vec F =\bigl(\partial_yF_z-\partial_zF_y,\;\partial_zF_x-\partial_xF_z,\;\partial_xF_y-\partial_yF_x\bigr)
temos
\nabla\times\vec F=(0-0,\;0-0,\;1-0)=(0,0,1).

Passo 3

Parametrizamos \sigma por (x,y)\mapsto(x,y,x^2+y^2). Para obter o vetor área com normal para baixo, usamos
\mathrm d\vec S = (f_x,f_y,-1)\,\mathrm dA,
onde f(x,y)=x^2+y^2. Logo
f_x=2x,\quad f_y=2y.

Passo 4

O fluxo é
\iint_\sigma (\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,\mathrm dS =\iint_D(\nabla\times\vec F)\cdot\mathrm d\vec S =\iint_D(0,0,1)\cdot(2x,2y,-1)\,\mathrm dA =\iint_D(-1)\,\mathrm dA.

Passo 5

Como D é o disco de raio 2, sua área é \pi\cdot2^2=4\pi. Portanto
\iint_D(-1)\,\mathrm dA=-1\cdot4\pi=-4\pi.

Resposta

-4\pi

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