2^{\circ} ) ( \mathbf{2 , 5} pontos) Uma pessoa é encontrada morta às 4 h da tarde em uma sala cuja temperatura é de 10^{\circ} \mathrm{C} (As superfícies interiores de paredes, pavimentos e tetos estão a 10^{\circ} \mathrm{C} ). A emissividade do corpo medida foi de 0,65 . Além disso, foi observado que o ar estava estagnado dentro da sala ( \mathrm{h}=0 ). Modelando o corpo como uma esfera de 30 cm de diâmetro. Em quanto tempo a temperatura do corpo cairá pela metade desde o “início da morte”.

Passo 1

O enunciado pede o tempo que o corpo demora a “cair pela metade” da diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente, supondo resfriamento somente por radiação (como h=0 não há convecção). Modelamos o corpo por uma esfera de diâmetro 0,30,m, emissividade \varepsilon=0,65, temperatura inicial do corpo T_0=37\,^\circ\mathrm{C} e temperatura do ambiente T_s=10\,^\circ\mathrm{C}. Vamos usar balanço energético por radiação e resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Converter temperaturas para Kelvin e definir a temperatura “metade” da diferença:
T_0 = 37\,^\circ\mathrm{C} = 310\\ \mathrm{K},\qquad T_s = 10\,^\circ\mathrm{C} = 283\\ \mathrm{K},
T_f = T_s + \frac{T_0 - T_s}{2} = 283 + \frac{310 - 283}{2} = 296{,}5\\ \mathrm{K}.
Calcular volume, massa e área da esfera (densidade do corpo \rho=1000,kg/ m^{3}, calor específico c_p=3500,J/kgK):
V = \tfrac{4}{3}\pi\bigl(0,15\bigr)^3 = 0{,}01414\\ \mathrm{m}^3,\quad m = \rho V = 14{,}14\\ \mathrm{kg},
A = 4\pi\bigl(0,15\bigr)^2 = 0{,}2827\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Escrever o balanço energético por radiação de corpo negro com emissividade \varepsilon:
m\,c_p\,\frac{dT}{dt} = -\,\varepsilon\,\sigma\,A\;\bigl(T^4 - T_s^4\bigr),
onde \sigma=5{,}67\times10^{-8},W/ m^{2} K^{4}.

Passo 4

Separar variáveis para integrar de T_0 até T_f:
\int_{0}^{t}dt \;=\;\frac{m\,c_p}{\varepsilon\,\sigma\,A}\, \int_{T_0}^{T_f}\frac{dT}{T^4 - T_s^4}\;\times(-1).

Passo 5

Usando frações parciais:
\frac{1}{T^4 - T_s^4} =\frac{1}{2\,T_s^2}\Bigl[\frac{1}{T^2 - T_s^2}-\frac{1}{T^2 + T_s^2}\Bigr],
integra-se e obtém-se
t = \frac{m\,c_p}{\varepsilon\,\sigma\,A}\;\frac{1}{2\,T_s^2}\;\Bigl\{ \bigl.\tfrac{1}{2\,T_s}\ln\frac{T-T_s}{T+T_s} -\tfrac{1}{T_s}\arctan\frac{T}{T_s}\bigr\}_{T_0}^{T_f}.

Passo 6

Substituindo numericamente:
m\,c_p = 14{,}14\times3500 = 4{,}95\times10^4\\ \mathrm{J/K},\quad \varepsilon\,\sigma\,A = 0,65\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot0{,}2827 \approx1{,}04\times10^{-8}\,\mathrm{W/K^4},
e avaliando a expressão entre T_0=310,K e T_f=296{,}5,K dá
t\approx3{,}3\times10^4\\ \mathrm{s}\approx9{,}2\\ \mathrm{h}.

Resposta

O corpo atinge metade da diferença de temperatura em aproximadamente 9 horas.

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