A produção de grande parte do aço começa com a redução do minério de hematita (em sua maior parte, óxido férrico), com coque (carbono) em uma fornalha para obter ferro. A reação básica é: \mathrm{Fe}_{2} \mathrm{O}_{3(\mathrm{~s})}+3 \mathrm{C}_{(\mathrm{s})} \rightarrow 2 \mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})}+3 \mathrm{CO}_{(\mathrm{g})}\left(\Delta H_{\mathrm{R}}=2,111 \times 10^{5} \mathrm{Btu} / \mathrm{lbmol}\right., a \left.77^{\circ} \mathrm{F}\right). Admitir que: quantidades estequiométricas de óxido férrico e carbono alimentam a fornalha a 77^{\circ} \mathrm{F}; a reação é completa; o ferro sai líquido a 2800^{\circ} \mathrm{F}; monóxido de carbono (CO) sai a 570^{\circ} \mathrm{F}. Considerar as seguintes propriedades físicas do ferro:
\begin{aligned} & \mathrm{Fe}_{(\mathrm{s})}: C_{\mathrm{p}}\left[\mathrm{Btu} / \mathrm{lbmol} .{ }^{\circ} \mathrm{F}\right]=5,90+1,50 \times 10^{-3} T\left[{ }^{\circ} \mathrm{F}\right] ; \\\ & \text { temperatura de fusão, } T_{\mathrm{m}}: 2794^{\circ} \mathrm{F} ; \Delta H \text { fusão a } T_{\mathrm{m}}: 6496 \mathrm{Btu} / \mathrm{lbmol} ; \\\ & \mathrm{Fe}_{(1)}: C_{\mathrm{p}}\left[\mathrm{Btu} / \mathrm{lbmol} .{ }^{\circ} \mathrm{F}\right]=8,15 \end{aligned}ãã
a) Realizar a análise de graus de liberdade para o problema, analisando primeiro somente o balanço material e, em seguida, o balanço material e energético juntos.
b) Calcular as necessidades de calor na fornalha, para uma base de 1 tonelada de ferro produzido. (Resposta: 5 \times 106 Btu/tonelada de ferro)

Passo 1

O enunciado trata da redução estequiométrica de hematita \mathrm{Fe}_{2}\mathrm{O}_{3} com coque \mathrm{C} para produzir ferro \mathrm{Fe} e monóxido de carbono \mathrm{CO}. A reação, a 77^{\circ}\mathrm F, é
\mathrm{Fe}_{2}\mathrm{O}_{3(\mathrm s)}+3\,\mathrm{C}_{(\mathrm s)} \;\longrightarrow\;2\,\mathrm{Fe}_{(\mathrm s)}+3\,\mathrm{CO}_{(\mathrm g)} \quad \Delta H_{\mathrm R}=2{,}111\times10^{5}\;\mathrm{Btu}/\text{lbmol (reação)}.çã
Queremos (a) analisar os graus de liberdade do sistema primeiro só com balanço material e depois com balanço material + energético, e (b) calcular a necessidade de calor para produzir 1 ton de ferro (resposta esperada: 5\times10^{6} Btu/ton).

Passo 2

Análise de graus de liberdade apenas com o balanço material. Definimos variáveis de fluxo molar (em lbmol/reação): \,F_{\mathrm{Fe_{2}O_{3}}},\,F_{\mathrm{C}},\,F_{\mathrm{Fe}},\,F_{\mathrm{CO}} e a extensão de reação \xi.
As equações independentes são as quatro balances em cada componente:
\begin{cases} F_{\mathrm{Fe_{2}O_{3}}}-1\cdot\xi=0,\\\ F_{\mathrm{C}}-3\cdot\xi=0,\\\ F_{\mathrm{Fe}}-2\cdot\xi=0,\\\ F_{\mathrm{CO}}-3\cdot\xi=0. \end{cases}
Há 5 incógnitas e 4 equações, logo o grau de liberdade é
\mathrm{DOF}_{\text{material}}=5-4=1.
Isso significa que precisamos fixar uma variável (por exemplo a produção de ferro) para fechar o balanço.

Passo 3

Análise de graus de liberdade com balanço material e energético. Acrescentamos a variável incógnita de taxa de calor Q. Passamos a ter 6 incógnitas F_{\mathrm{Fe_{2}O_{3}}},F_{\mathrm{C}},F_{\mathrm{Fe}},F_{\mathrm{CO}},\xi,Q e 5 equações (4 balances materiais +1 balanço energético). Assim
\mathrm{DOF}_{\text{mat+en}}=6-5=1.
Novamente é necessário fixar uma taxa de produção (ex.: 1 tonelada de Fe) para determinar unicamente Q.

Passo 4

Balanço de energia por mol de reação. Como os reagentes chegam a 77^{\circ}\mathrm F e os produtos saem:
– Ferro líquido a 2800^{\circ}\mathrm F;
– CO gasoso a 570^{\circ}\mathrm F.
A entalpia total requerida por mol de reação é a soma de:
1. \Delta H_{R} (endotérmica) a 77^{\circ}\mathrm F.
2. Aquecimento de 2 lbmol de Fe sólido de 77 a T_{m}=2794^{\circ}\mathrm F.
3. Fusão de 2 lbmol de Fe a T_{m}.
4. Aquecimento de 2 lbmol de Fe líquido de 2794 a 2800^{\circ}\mathrm F.
5. Aquecimento de 3 lbmol de CO gasoso de 77 a 570^{\circ}\mathrm F.

Passo 5

Cálculo do aquecimento do ferro sólido:
C_{p,\mathrm{Fe(s)}}=5{,}90+1{,}50\times10^{-3}T.
Q_{1} =2\int_{77}^{2794}\Bigl(5{,}90+1{,}50\times10^{-3}T\Bigr)\,dT =2\Bigl[5{,}90\,\Delta T +0{,}00075\,(T^{2}-T_{0}^{2})\Bigr]_{77}^{2794} \approx 2\,(21\,880)\;=\;43\,760\;\mathrm{Btu}.

Passo 6

Fusão do ferro:
Q_{2} =2\times 6\,496 \;=\;12\,992\;\mathrm{Btu}.

Passo 7

Aquecimento do ferro líquido de 2794 a 2800^{\circ}\mathrm F:
Q_{3} =2\times 8{,}15\times(2800-2794) \;=\;2\times 8{,}15\times 6 \;\approx\;98\;\mathrm{Btu}.

Passo 8

Aquecimento do CO gasoso. Tomando C_{p,\mathrm{CO}}\approx0{,}216\;\mathrm{Btu/(lbmol\;^\circ F)}:
Q_{4} =3\times 0{,}216 \times (570-77) \;\approx\;320\;\mathrm{Btu}.

Passo 9

Somando todas as contribuições e incluindo \Delta H_{R}:
Q_{\text{reação}} =\Delta H_{R}+Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+Q_{4} =211\,100+43\,760+12\,992+98+320 \approx268\,270\;\mathrm{Btu\;por\;mol\;de\;reação}.çãçã

Passo 10

Converter para base de 1 tonelada de Fe. Cada mol de reação produz 2 lbmol de Fe, ou seja 2\times55{,}85 lb = 111{,}7 lb de ferro. Para obter 2000 lb (1 ton) de Fe precisamos
\frac{2000}{111{,}7}\approx17{,}9\;\text{mol de reação}.çã
Logo o calor total é
Q_{\text{ton Fe}} =17{,}9\times268\,270 \approx4{,}8\times10^{6}\;\mathrm{Btu/ton}.

Resposta

A necessidade de calor para produzir 1 tonelada de ferro é aproximadamente
5\times10^{6}\;\mathrm{Btu/tonelada\;de\;Fe}.

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