Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de \mathbb{R}^{4} ? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
a) (1 ponto) S=\{(x, y, z, w) \mid x+y+z=-15\};
b) (1 ponto) T=\{(x, y, z, w) \mid x=3 z \mathbf{e} w=x-5 y\};

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos em \mathbb{R}^4 e pede para verificarmos quais são subespaços vetoriais, justificando em cada caso. Se for subespaço, devemos também determinar sua dimensão. Para isso, vamos usar o critério de subespaço: um conjunto V\subseteq\mathbb{R}^4 é subespaço se, e somente se, contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Analisando
S = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y+z = -15\},
vemos que o vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0,0) não satisfaz 0+0+0=-15. Logo \mathbf{0}\notin S, portanto S não é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 3

Analisando
T = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x = 3z \text{ e } w = x - 5y\},
observamos que ambas as condições são homogêneas (não há termos constantes). Primeiro, \mathbf{0}=(0,0,0,0) satisfaz 0=3\cdot0 e 0=0-5\cdot0, logo \mathbf{0}\in T. Em seguida, se \mathbf{u},\mathbf{v}\in T e \alpha\in\mathbb{R}, as equações lineares continuam válidas em \mathbf{u}+\mathbf{v} e em \alpha\mathbf{u}. Portanto T é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 4

Para encontrar a dimensão de T, escrevemos um vetor genérico de T em função de parâmetros livres. Das condições temos
x = 3z,\quad w = x - 5y = 3z - 5y.
Escolhendo z=s e y=t como parâmetros, um vetor em T é
(x,y,z,w) = (3s,\,t,\,s,\,3s-5t) = s\,(3,0,1,3) \;+\; t\,(0,1,0,-5).
Os vetores (3,0,1,3) e (0,1,0,-5) são independentes, logo formam uma base de T. Assim
\dim(T)=2.

Resposta

a) S não é subespaço de \mathbb{R}^4.
b) T é subespaço de \mathbb{R}^4 e \dim(T)=2.

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