Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
? Explique por quê em cada caso. Caso o conjunto seja espaço vetorial, determine a dimensão deste espaço.
a) (1 ponto)
;
b)
ponto)
;
a) (1 ponto)
b)
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos em
e pede para verificarmos quais são subespaços vetoriais, justificando em cada caso. Se for subespaço, devemos também determinar sua dimensão. Para isso, vamos usar o critério de subespaço: um conjunto
é subespaço se, e somente se, contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Analisando
vemos que o vetor zero
não satisfaz
. Logo
, portanto
não é subespaço de
.
Passo 3
Analisando
observamos que ambas as condições são homogêneas (não há termos constantes). Primeiro,
satisfaz
e
, logo
. Em seguida, se
e
, as equações lineares continuam válidas em
e em
. Portanto
é subespaço de
.
Passo 4
Para encontrar a dimensão de
, escrevemos um vetor genérico de
em função de parâmetros livres. Das condições temos
Escolhendo
e
como parâmetros, um vetor em
é
Os vetores
e
são independentes, logo formam uma base de
. Assim
Resposta
a)
não é subespaço de
.
b) é subespaço de
e
.
b)