2^circ) Seja lim xn=L1 e lim yn=L2. Se xn<yn, poderíamos afirmar que L1<L2 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá duas sequências xn e yn tais que \r
limntoinftyxn = L1, limntoinftyyn = L2 \r
e satisfazem a desigualdade \r
forall n:;xn < yn \r
O conteúdo aqui é o comportamento de desigualdades ao passar ao limite de sequências convergentes.

Passo 2

Como xn<yn para todo n, podemos escrever \r
forall n:;xn - yn < 0 \r
Como o limite de soma (ou diferença) de sequências é a soma (ou diferença) dos limites, tomamos limite em ambos os lados: \r
limntoinfty(xn - yn) = limntoinftyxn - limntoinftyyn = L1 - L2 \r
e \r
limntoinfty0 = 0 \r
Pela preservação de desigualdade em limites (se an < bn sempre, então lim an <= lim bn), obtemos \r
L1 - L2 <= 0Longrightarrow L1 <= L2

Passo 3

Para ver que não podemos garantir a desigualdade estrita L1 < L2, basta um contraexemplo. Seja por exemplo \r
forall n:;xn = 1 - 1n, yn = 1 \r
Então xn<yn sempre, mas \r
limntoinftyxn = 1 = limntoinftyyn, \r
logo L1 = L2.

Resposta

Não; só se segue que L1 <= L2.

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