Seja
e
. Se
, poderíamos afirmar que
? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá duas sequências
e
tais que \r
e satisfazem a desigualdade \r
O conteúdo aqui é o comportamento de desigualdades ao passar ao limite de sequências convergentes.
Passo 2
Como
para todo
, podemos escrever \r
Como o limite de soma (ou diferença) de sequências é a soma (ou diferença) dos limites, tomamos limite em ambos os lados: \r
e \r
Pela preservação de desigualdade em limites (se
sempre, então
), obtemos \r
Passo 3
Para ver que não podemos garantir a desigualdade estrita
, basta um contraexemplo. Seja por exemplo \r
Então
sempre, mas \r
logo
.
Resposta
Não; só se segue que
.