(1^{\circ}) Uma placa metálica vertical de 1,5 \mathrm{~m} de altura é mantida a 40^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{em} \mathrm{um} ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o fluxo de calor por convecção natural em um comprimento de 2 m de placa, considerando as duas faces. R : 2,6.10^{2} \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Dados fornecidos:
    • A placa é vertical e tem altura 1{,}5\\ \mathrm{m}.
    • A placa está a 40^\circ\mathrm{C}.
    • O ambiente (ar) está a 25^\circ\mathrm{C}.
    • Devemos considerar um “comprimento de 2\\ \mathrm{m} de placa, considerando as duas faces” — vou interpretar isto como a placa tendo largura (ou extensão horizontal) 2{,}0\\ \mathrm{m}, de modo que a área de convecção em ambas as faces é A = 2 \times (\text{altura}) \times (\text{largura}).
  • O que se pede:
    • Calcular o fluxo de calor por convecção natural total (em W) trocado entre a placa e o ar, considerando as duas faces.

Passo 2

Estratégia geral e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Em convecção natural a taxa de calor total é dada por
q = h\,A\,\Delta T,
onde:
  • q é o fluxo de calor (W),
  • h é o coeficiente médio de transferência convectiva (W·m{-2}·K{-1}),
  • A é a área total de troca térmica (m^{2}),
  • \Delta T = T_s - T_\infty é a diferença de temperatura entre a superfície e o ar (K).
  • O desafio é achar h. Para uma placa vertical plana usamos correlações empíricas que ligam o número de Nusselt médio \overline{\mathrm{Nu}}_L ao número de Rayleigh \mathrm{Ra}_L. Definições:
    • \overline{\mathrm{Nu}}_L = \dfrac{h L}{k}, onde L é a altura característica da placa e k é a condutividade térmica do fluido.
    • \mathrm{Ra}_L = \mathrm{Gr}_L\,\mathrm{Pr}, com \mathrm{Gr}_L = \dfrac{g\beta \Delta T L^3}{\nu^2} (Grashof) e \mathrm{Pr} = \dfrac{\nu}{\alpha} (Prandtl). Aqui \nu é viscosidade cinemática, \alpha difusividade térmica e \beta coeficiente volumétrico de expansão térmica.
  • Correlações usuais para placa vertical (média sobre L):
    • Para 10^4 < \mathrm{Ra}_L < 10^9 (regime laminar ou transição): \overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}68 + \dfrac{0{,}670\,\mathrm{Ra}_L^{1/4}}{\left[1 + \left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{4/9}}.
    • Para \mathrm{Ra}_L > 10^9 (regime praticamente turbulento): \overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}10\,\mathrm{Ra}_L^{1/3}.
  • Plano de ação: calcular \mathrm{Ra}_L usando L igual à altura da placa, verificar em qual faixa está, usar a correlação apropriada para achar \overline{\mathrm{Nu}}_L, obter h e então q.

Passo 3

Escolha da altura característica e cálculo da área; definição da temperatura de filme e propriedades do ar:
  • Altura característica (vertical): L = 1{,}5\\ \mathrm{m} (a altura da placa).
  • Largura/horizontal fornecida no enunciado: 2{,}0\\ \mathrm{m}. Considerando as duas faces, a área total é
A = 2 \times (1{,}5)\times(2{,}0) = 6{,}0\\ \mathrm{m}^2.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = 40^\circ\mathrm{C} - 25^\circ\mathrm{C} = 15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura de filme (média) usada para avaliar propriedades do ar:
T_f = \frac{40 + 25}{2} = 32{,}5^\circ\mathrm{C} \approx 305{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Propriedades do ar em T_f (valores aproximados, comuns em tabelas — explico: tabelas de propriedades dão k,\nu,\mathrm{Pr},\beta para o ar; uso valores arredondados consistentes):
    • Condutividade térmica: k \approx 0{,}0267\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}.
    • Viscosidade cinemática: \nu \approx 1{,}60\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.
    • Número de Prandtl: \mathrm{Pr} \approx 0{,}71.
    • Coeficiente volumétrico de expansão (ar ideal): \beta \approx \dfrac{1}{T_f} \approx \dfrac{1}{305{,}5}\\ \mathrm{K^{-1}} \approx 3{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Observação: usar a temperatura de filme é padrão porque propriedades variam com temperatura; aqui tomamos valores arredondados suficientes para cálculo manual em prova.

Passo 4

Cálculo do número de Grashof \mathrm{Gr}_L:
  • Fórmula:
\mathrm{Gr}_L = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu^2}.
  • Substituindo os valores (vou mostrar contas passo a passo):
    • g = 9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
    • \beta = 3{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}.
    • \Delta T = 15\\ \mathrm{K}.
    • L^3 = (1{,}5)^3 = 3{,}375\\ \mathrm{m^3}.
    • \nu^2 = (1{,}60\times10^{-5})^2 = 2{,}56\times10^{-10}\\ \mathrm{m^4\,s^{-2}}.
  • Produto no numerador: 9{,}81\times 3{,}27\times10^{-3}\times 15 \times 3{,}375 \approx 1{,}6257 (detalhe: calculei produto passo a passo).
  • Então
\mathrm{Gr}_L \approx \frac{1{,}6257}{2{,}56\times10^{-10}} \approx 6{,}35\times10^{9}.

Passo 5

Cálculo do número de Rayleigh \mathrm{Ra}_L:
  • \mathrm{Ra}_L = \mathrm{Gr}_L\,\mathrm{Pr}.
  • Substituindo:
\mathrm{Ra}_L \approx 6{,}35\times10^{9}\times 0{,}71 \approx 4{,}51\times10^{9}.
  • Interpretação: \mathrm{Ra}_L \approx 4{,}5\times10^{9}, que é maior que 10^9. Portanto estamos na faixa em que a convecção vertical já está em regime turbulento e usamos a correlação apropriada para \mathrm{Ra}_L>10^9.

Passo 6

Escolha da correlação e cálculo do número de Nusselt médio \overline{\mathrm{Nu}}_L:
  • Para \mathrm{Ra}_L > 10^9 usamos:
\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}10\,\mathrm{Ra}_L^{1/3}.
  • Calculemos \mathrm{Ra}_L^{1/3}:
    • \mathrm{Ra}_L^{1/3} = (4{,}51\times10^{9})^{1/3} \approx 1{,}646\times10^{3} (ou seja, cerca de 1{,}646\times10^{3}).
  • Assim
\overline{\mathrm{Nu}}_L \approx 0{,}10 \times 1{,}646\times10^{3} \approx 164{,}6.

Passo 7

Cálculo do coeficiente de convecção médio h:
  • Relação entre Nusselt e h:
h = \frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}.
  • Substituindo valores:
    • \overline{\mathrm{Nu}}_L \approx 164{,}6,
    • k \approx 0{,}0267\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}},
    • L = 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Produto no numerador: 164{,}6\times 0{,}0267 \approx 4{,}395.
  • Então
h \approx \frac{4{,}395}{1{,}5} \approx 2{,}93\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.

Passo 8

Cálculo do fluxo de calor total q:
  • Fórmula:
q = h\,A\,\Delta T.
  • Substituindo:
    • h \approx 2{,}93\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}},
    • A = 6{,}0\\ \mathrm{m^2},
    • \Delta T = 15\\ \mathrm{K}.
  • Primeiro calcule hA = 2{,}93\times 6{,}0 \approx 17{,}58\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
  • Então
q \approx 17{,}58 \times 15 \approx 263{,}7\\ \mathrm{W}.
  • Arredondando sensatamente (e combinando com o resultado fornecido no enunciado) obtemos cerca de 2{,}64\times10^{2}\\ \mathrm{W}.

Resposta

2{,}64\times10^{2}\\ \mathrm{W}

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