Considere uma panela de alumínio sobre um fogão elétrico. Se o fundo da panela tem uma espessura de 0,3 \mathrm{~cm} e diâmetro de 20 cm ; e o fogão elétrico consome 800 W com eficiência de 90 \% de transferência do calor gerado para a panela, expresse as condições de contorno para o fundo da panela durante o cozimento. Dado: a operação ocorre em regime permanente e a temperatura na superfície interna da panela de é 110^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O problema é de condução de calor unidimensional em regime permanente através do fundo da panela de alumínio, de espessura L=0{,}3\;\mathrm{cm}=0{,}003\;\mathrm{m} e diâmetro D=20\;\mathrm{cm}=0{,}2\;\mathrm{m}. O fogão elétrico fornece potência P=800\;\mathrm{W} com eficiência de transferência \eta=90\%, e a temperatura da superfície interna (lado do alimento) é mantida em 110^\circ\mathrm{C}. Vamos formular as condições de contorno para a distribuição de temperatura T(z) ao longo da espessura.

Passo 2

A potência útil transmitida ao fundo da panela vale
Q = \eta\,P = 0{,}9 \times 800\;\mathrm{W} = 720\;\mathrm{W}.

Passo 3

A área do disco de contato é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}2)^2}{4} = \pi \times 0{,}01\;\mathrm{m}^2.
Logo, a densidade de fluxo de calor que entra no fundo é
q'' = \frac{Q}{A} = \frac{720}{\pi \times 0{,}01}\;\mathrm{W/m^2}.

Passo 4

Em condução unidimensional e regime permanente, a lei de Fourier dá
q'' = -\,k\,\frac{dT}{dz}\,,
onde z=0 corresponde à superfície externa (contato com o fogão) e z=L ao lado interno.

Passo 5

Portanto, as condições de contorno para T(z)\) são: \[\begin{cases} -\,k\,\displaystyle\left.\frac{dT}{dz}\right|_{z=0} = q'' = \displaystyle\frac{720}{\pi\,0{,}01}\;\mathrm{W/m^2},\\[1em] T(z=L) = T(L) = 110^\circ\mathrm{C}, \end{cases}
com (L=0{,}003;\mathrm{m}].]

Resposta

-\,k\,\left.\frac{dT}{dz}\right|_{z=0} = \frac{720}{\pi\,0{,}01}\;\mathrm{W/m^2}, \quad T(0{,}003\,\mathrm{m})=110^\circ\mathrm{C}.

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