) Prove as desigualdades:
Desigualdade de Schwarz)
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove a desigualdade de Schwarz (ou Cauchy–Schwarz) em ℝⁿ, que diz que o valor absoluto do produto interno de dois vetores é no máximo o produto dos seus comprimentos. Vamos usar definições de produto interno e norma e uma técnica com funções quadráticas.
Passo 2
Considere a função de variável real
definida por:
Como norma ao quadrado é sempre não negativa, temos
para todo
.
Passo 3
Expandindo
usando a bilinearidade do produto interno, obtemos:
Ou seja,
que é uma função quadrática em
.
Passo 4
Para que
para todo
, o discriminante dessa quadrática deve ser não positivo. Aqui:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo independente:
.
O discriminante é
, logo
Isso implica
Passo 5
Tirando raiz quadrada dos dois lados e lembrando que a norma é não negativa, chega-se a:
que é exatamente a desigualdade de Schwarz. Equality ocorre se e somente se
e
forem linearmente dependentes.