6^circ ) Prove as desigualdades:
|u cdot v| <=||u|| cdot |||v||( Desigualdade de Schwarz)

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove a desigualdade de Schwarz (ou Cauchy–Schwarz) em ℝⁿ, que diz que o valor absoluto do produto interno de dois vetores é no máximo o produto dos seus comprimentos. Vamos usar definições de produto interno e norma e uma técnica com funções quadráticas.

Passo 2

Considere a função de variável real t definida por:
f(t)=|vec u + tvec v|^2
Como norma ao quadrado é sempre não negativa, temos f(t)>=0 para todo t.

Passo 3

Expandindo f(t) usando a bilinearidade do produto interno, obtemos:
f(t)=(vec u + tvec v)cdot(vec u + tvec v)=vec ucdotvec u + 2t,(vec ucdotvec v)+t^2,vec vcdotvec v
Ou seja,
f(t)=|vec u|^2 + 2t, (vec ucdotvec v) + t^2,|vec v|^2
que é uma função quadrática em t.

Passo 4

Para que f(t)>=0 para todo t, o discriminante dessa quadrática deve ser não positivo. Aqui:
  • coeficiente de t^2: a=|vec v|^2,
  • coeficiente de t: b=2,(vec ucdotvec v),
  • termo independente: c=|vec u|^2.
O discriminante é De, logo
De
Isso implica
(vec ucdotvec v)^2 <= |vec u|^2,|vec v|^2

Passo 5

Tirando raiz quadrada dos dois lados e lembrando que a norma é não negativa, chega-se a:
|vec ucdotvec v| <= |vec u|,|vec v|,
que é exatamente a desigualdade de Schwarz. Equality ocorre se e somente se vec u e vec v forem linearmente dependentes.

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