Considere a equação
, então mostre que:
Se
e
são soluções da equação, então
também será.
Se
Passo 1
Estamos considerando a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
O conteúdo é a propriedade de superposição em equações lineares homogêneas, e vamos usar a linearidade do operador diferencial para mostrar que a soma de soluções também é solução.
Passo 2
Definimos o operador linear
por
Isso significa que a equação diferencial pode ser reescrita como
.
Passo 3
Pela definição de operador linear, para quaisquer funções
e
temos
Aqui usamos que a derivação e a multiplicação por
são operações lineares.
Passo 4
Como
e
são soluções, por hipótese satisfazem
e
Substituindo na linearidade, obtemos
Passo 5
Portanto,
satisfaz
, isto é, é também solução da equação original.
Resposta
Sejam
e
soluções de
. Então
satisfaz
possuindo assim a propriedade de superposição.