Considere a equação y^prime prime+p(t) y=0, então mostre que:
Se y1(t) e y2(t) são soluções da equação, então y(t)=y1(t)+y2(t) também será.

Passo 1

Estamos considerando a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y = 0
O conteúdo é a propriedade de superposição em equações lineares homogêneas, e vamos usar a linearidade do operador diferencial para mostrar que a soma de soluções também é solução.

Passo 2

Definimos o operador linear L por
L[y] = y'' + p(t),y
Isso significa que a equação diferencial pode ser reescrita como L[y] = 0.

Passo 3

Pela definição de operador linear, para quaisquer funções y1 e y2 temos
L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2]
Aqui usamos que a derivação e a multiplicação por p(t) são operações lineares.

Passo 4

Como y1 e y2 são soluções, por hipótese satisfazem
L[y1] = 0
e
L[y2] = 0
Substituindo na linearidade, obtemos
L[y1 + y2] = 0 + 0 = 0

Passo 5

Portanto, y = y1 + y2 satisfaz L[y] = 0, isto é, é também solução da equação original.

Resposta

Sejam y1 e y2 soluções de y'' + p(t)y = 0. Então y = y1 + y2 satisfaz
y'' + p(t)y = 0
possuindo assim a propriedade de superposição.

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