Derive.
W(t)=e^t(1+t e^t)

Passo 1

A questão pede a derivada de W(t)=e^tl(1+t e^tr). O conteúdo é derivada de produto de funções, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u(t)=e^t e v(t)=1+t e^t. Assim, pela regra do produto, W'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
– Como u(t)=e^t, temos u'(t)=e^t.
– Para v(t)=1+t e^t, note que a derivada de 1 é 0 e usamos produto em t e^t:
ddtl(t e^tr)=1cdot e^t + tcdot e^t = e^t + t e^t
Logo, v'(t)=e^t + t e^t.

Passo 4

Substituindo em W'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t) obtemos:
W'(t)=e^tl(1+t e^tr) + e^tl(e^t + t e^tr)

Passo 5

Agora simplificamos termo a termo:
– O primeiro soma é e^t + t e^2t.
– O segundo é e^tcdot e^t + e^tcdot t e^t = e^2t + t e^2t

Passo 6

Agrupando tudo,
W'(t)=e^t + t e^2t + e^2t + t e^2t = e^t + (2t+1)e^2t

Resposta

W'(t)=e^t + (2t+1)e^2t

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