4^{\circ} ) Prove que o diâmetro é a maior corda de uma circunferência.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa circunferência de centro O e raio R, nenhuma corda pode ter comprimento maior que o diâmetro. Vamos usar geometria de triângulos e a lei dos cossenos.

Passo 2

Seja AB uma corda qualquer da circunferência. Traçamos os segmentos OA e OB, obtendo o triângulo isósceles AOB com
OA = OB = R,
e designamos por \theta = \angle AOB o ângulo central correspondente à corda AB.

Passo 3

Aplicamos a lei dos cossenos ao triângulo AOB:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\,OA\cdot OB\cdot \cos(\theta) = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(\theta) = 2R^2\bigl(1 - \cos(\theta)\bigr).
Usando a identidade trigonométrica 1 - \cos(\theta) = 2\sin^2(\tfrac{\theta}{2}), segue
AB^2 = 4R^2\sin^2\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).

Passo 4

Da expressão acima tiramos
AB = 2R\Bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)\Bigr|.
Como \theta varia em (0,\pi], temos 0\le \sin(\tfrac{\theta}{2})\le1. Portanto
AB \le 2R.
A igualdade AB=2R ocorre exatamente quando \sin(\tfrac{\theta}{2})=1, ou seja, \theta=\pi, o que significa que A, O e B são colineares e AB passa pelo centro — isto é, AB é diâmetro.

Resposta

O diâmetro, cujo comprimento é 2R, é a maior corda de uma circunferência.

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