Quais os valores de a as transformações são diagonalizáveis:
(a) \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear representada, numa base, pela matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 0 & a\end{pmatrix}
e pede para determinar para quais valores de a essa transformação é diagonalizável. Vamos usar o critério de diagonalização em termos de autovalores (raízes do polinômio característico) e suas multiplicidades algébrica e geométrica.
Logo os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=a.
Passo 3
Se a\neq 1, então \lambda_{1}\neq\lambda_{2}. Matriz com dois autovalores distintos tem sempre duas direções próprias linearmente independentes, ou seja, a multiplicidade geométrica de cada autovalor é 1 e soma 2, garantindo diagonalização.
Passo 4
Se a=1, então o polinômio fica
p(\lambda)=(1-\lambda)^{2},
autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. O espaço próprio é dado por