Dadas as bases \beta=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^{2} e \beta^{\prime}=\{(3,-2,0),(0,1,0),(0,0,-2)\} de \mathbb{R}^{3}. Determine:
a) A transformação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz associada é
b) A matriz A_{2 \times 3} associada à transformação T(x, y, z)=(x+y-z, x-y+z).
Passo 1
O enunciado dá a base \beta=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^2 (que é a base canônica) e a base \beta'=\{(3,-2,0),(0,1,0),(0,0,-2)\} de \mathbb{R}^3. A matriz
é a matriz de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 relativa às bases \beta,\beta'. Então, para obter T(x,y) em coordenadas usuais, vamos primeiro achar as coordenadas (a,b,c)^T = A\,(x,y)^T na base \beta', e depois converter para coordenadas canônicas.
Passo 2
Calculemos
\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2\\\\ -1& 0\\\\ -1& 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot x + 2\cdot y\\\\ -1\cdot x + 0\cdot y\\\\ -1\cdot x + 3\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y\\\\ -\,x\\\\ -\,x+3y \end{pmatrix}.
Passo 3
Como (a,b,c) são as coordenadas de T(x,y) na base \beta', vale