4^{\circ} Questão:

Dadas as bases \beta=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^{2} e \beta^{\prime}=\{(3,-2,0),(0,1,0),(0,0,-2)\} de \mathbb{R}^{3}. Determine:
a) A transformação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz associada é
A=\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\\\ -1 & 0 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right]
b) A matriz A_{2 \times 3} associada à transformação T(x, y, z)=(x+y-z, x-y+z).

Passo 1

O enunciado dá a base \beta=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^2 (que é a base canônica) e a base
\beta'=\{(3,-2,0),(0,1,0),(0,0,-2)\} de \mathbb{R}^3. A matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 2\\\\ -1& 0\\\\ -1& 3 \end{pmatrix}
é a matriz de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 relativa às bases \beta,\beta'. Então, para obter T(x,y) em coordenadas usuais, vamos primeiro achar as coordenadas (a,b,c)^T = A\,(x,y)^T na base \beta', e depois converter para coordenadas canônicas.

Passo 2

Calculemos
\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2\\\\ -1& 0\\\\ -1& 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot x + 2\cdot y\\\\ -1\cdot x + 0\cdot y\\\\ -1\cdot x + 3\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y\\\\ -\,x\\\\ -\,x+3y \end{pmatrix}.

Passo 3

Como (a,b,c) são as coordenadas de T(x,y) na base \beta', vale
T(x,y) = a\,(3,-2,0) \;+\; b\,(0,1,0)\;+\; c\,(0,0,-2).

Passo 4

Substituindo a=2y, b=-x, c=-x+3y obtemos
T(x,y) = 2y\,(3,-2,0)\;+\;(-x)\,(0,1,0)\;+\;(-x+3y)\,(0,0,-2).
Fazendo as somas coordenada a coordenada,
T(x,y) = (6y,\,-4y - x,\;2x -6y).

Passo 5

Na segunda parte, a transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 é dada por
T(x,y,z) = (\,x+y-z,\;x-y+z\,).
Para encontrar sua matriz associada às bases canônicas, basta ver o efeito em (x,y,z). Logo, a matriz 2\times3 é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix},
pois multiplica \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} e dá \begin{pmatrix}x+y-z\x-y+z\end{pmatrix}.

Resposta

a) Para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T(x,y) = (\,6y,\,-x-4y,\;2x-6y).
b) A matriz 2\times3 é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados