(6,0 pontos) Dados os vetores vec{u}=(1,1,4), \vec{v}=\left(0,-\frac{1}{2}, 0\right) e vec{w}=(-1,2,2), calcular:
o módulo do vetor 2 \vec{v}-3 \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{v}=\bigl(0,-\tfrac12,0\bigr) e \vec{w}=(-1,2,2)
e pede o módulo de 2\vec{v}-3\vec{w}. Vamos usar operações de combinação linear de vetores e, em seguida, a definição de módulo em \mathbb{R}^3:
\|\,(x,y,z)\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\,.

Passo 2

Calcular o múltiplo 2\vec{v}. Como \vec{v}=(0,-\tfrac12,0), temos
2\vec{v} = 2\cdot\bigl(0,-\tfrac12,0\bigr) = \bigl(0,-1,0\bigr).

Passo 3

Calcular o múltiplo 3\vec{w}. Como \vec{w}=(-1,2,2), segue
3\vec{w} = 3\cdot(-1,2,2) = (-3,6,6).

Passo 4

Formar a combinação 2\vec{v}-3\vec{w}. Subtraindo componente a componente, obtemos
2\vec{v}-3\vec{w} = (0,-1,0) - (-3,6,6) = \bigl(0+3,\,-1-6,\,0-6\bigr) = (3,-7,-6).

Passo 5

Calcular o módulo de (3,-7,-6) pela fórmula \|(x,y,z)\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}:
\bigl\|(3,-7,-6)\bigr\| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 49 + 36} = \sqrt{94}.

Resposta

\sqrt{94}

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