Sejam A=(2,1) e B=(1,3). Mostrar que cada vector C=\left(c_{1}, c_{2}\right) em V_{2} pode ser expresso na forma C=x A+y B. Exprimir x e y em função de c_{1} e c_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em V_{2} (ou \mathbb{R}^2):
A = (2,1), \quad B = (1,3),
e pede para mostrar que qualquer vetor
C = \bigl(c_{1},c_{2}\bigr)
pode ser escrito como combinação linear
C = x\,A + y\,B.
O conteúdo é teoria de bases e combinação linear em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Escrevendo C = x A + y B e igualando componentes, temos o sistema
2x + y = c_{1}, \quad x + 3y = c_{2}.

Passo 3

Para resolver o sistema, usamos eliminação. Da primeira equação,
y = c_{1} - 2x.
Substituindo na segunda,
x + 3\bigl(c_{1} - 2x\bigr) = c_{2} \;\Longrightarrow\; x + 3c_{1} - 6x = c_{2} \;\Longrightarrow\; -5x = c_{2} - 3c_{1} \;\Longrightarrow\; x = \frac{3c_{1} - c_{2}}{5}.
Então
y = c_{1} - 2\biggl(\frac{3c_{1} - c_{2}}{5}\biggr) = \frac{5c_{1} - 6c_{1} + 2c_{2}}{5} = \frac{-c_{1} + 2c_{2}}{5}.

Passo 4

Como o determinante da matriz dos coeficientes,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = 2\cdot3 - 1\cdot1 = 5 \neq 0,
o sistema admite solução única para quaisquer c_{1},c_{2}. Logo, todo vetor C em V_{2} se expressa como xA + yB.

Resposta

x = \frac{3c_{1} - c_{2}}{5}, \quad y = \frac{-c_{1} + 2c_{2}}{5}.

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