Determine o divergente de:
F(x, y, z)=x y^{2} z^{2} \vec{i}+z^{2} \operatorname{sen}(y) \vec{j}+x^{2} e^{y} \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente (ou divergence) do campo vetorial
F(x,y,z)=x\,y^{2}\,z^{2}\,\mathbf{i}+z^{2}\,\sin(y)\,\mathbf{j}+x^{2}\,e^{y}\,\mathbf{k}.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial em \mathbb{R}^3. Vamos usar a definição
\operatorname{div}F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z},
onde F_x,\,F_y,\,F_z são as componentes de F nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x} com F_x = x\,y^{2}\,z^{2}. Como y^{2}z^{2} é constante em relação a x,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{2}\,z^{2}\bigr) = y^{2}\,z^{2}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial y} com F_y = z^{2}\,\sin(y). Aqui z^{2} é constante em relação a y, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(z^{2}\,\sin(y)\bigr) = z^{2}\,\cos(y).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial z} com F_z = x^{2}\,e^{y}. Note que não há dependência de z nessa expressão, logo
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}\,e^{y}\bigr) = 0.

Passo 5

Somando as três derivadas parciais, obtemos
\operatorname{div}F = y^{2}\,z^{2} \;+\; z^{2}\,\cos(y)\;+\;0 = z^{2}\,\bigl(y^{2}+\cos(y)\bigr).

Resposta

\operatorname{div}F(x,y,z) = z^{2}\,\bigl(y^{2} + \cos(y)\bigr).

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