4^circ Questão (0,6 ponto ): Considere o sistema de equações lineares c2 x-3 y+z=2 x-2 y+z=-1 -2 x+4 y-2 z=3
Analise as seguintes asserções.
O sistema linear dado possui infinitas soluções.
PORQUE
O determinante da matriz dos coeficientes desse sistema é igual a zero.
Acerca dessas asserções, assinale a opção CORRETA.
(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa corret da primeira.
(B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativ correta da primeira.
(C) Somente a primeira asserção é uma proposição verdadeira.
(D) Somente a segunda asserção é uma proposição verdadeira.
(E) Ambas as asserções são proposições falsas.
  • A pontuação da questão será atribuída conforme a indicação da alternativa correta, mas para que a alternativa assinalada seja considerada, é necessário apresentar os cálculos e/ou argumentos corretos que levaram a conclusão da mesma.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado da questão. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
2x - 3y + z = 2 x - 2y + z = -1 -2x + 4y - 2z = 3
O conteúdo envolvido aqui é a teoria dos sistemas de equações lineares e determinantes de matrizes. Para resolver, vamos verificar se o sistema possui soluções infinitas e se o determinante da matriz dos coeficientes é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 2 & -3 & 1 1 & -2 & 1 -2 & 4 & -2
O determinante dessa matriz, det(A), nos ajudará a entender a natureza das soluções do sistema.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A:
det(A) = 2 cdot (-2 cdot (-2) - 1 cdot 4) - (-3) cdot (1 cdot (-2) - 1 cdot (-2)) + 1 cdot (1 cdot 4 - (-2) cdot (-2))
Simplificando:
det(A) = 2 cdot (4 - 4) - (-3) cdot (-2 + 2) + 1 cdot (4 - 4) = 2 cdot 0 - (-3) cdot 0 + 1 cdot 0 = 0
Então, o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.

Passo 4

Quando o determinante de uma matriz de coeficientes de um sistema linear é zero, isso indica que o sistema é linearmente dependente, ou seja, as equações do sistema são combinações lineares umas das outras. Isso geralmente significa que o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo das constantes.

Passo 5

Para determinar se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma, podemos verificar a consistência das equações. Vamos observar a terceira equação:
-2x + 4y - 2z = 3
Dividindo todos os termos por -2:
x - 2y + z = -32
Comparando com a segunda equação do sistema:
x - 2y + z = -1
Notamos que -32 neq -1, o que significa que as duas equações são inconsistentes. Portanto, o sistema não possui soluções.

Resposta

A opção correta é (D) Somente a segunda asserção é uma proposição verdadeira.

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