Considere os vetores:
V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(4,-3,-7), V4=(0,1,1)
Seja A a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Dimensão do espaço gerado por V2 e V3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro vetores: V1=(1,1,0) , V2=(0,1,1) , V3=(4,-3,-7) e V4=(0,1,1) . A matriz A é formada por esses vetores como colunas. O que precisamos descobrir é a dimensão do espaço gerado por V2 e V3 . Basicamente, queremos saber quantas direções diferentes esses dois vetores apontam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “dimensão do espaço gerado”. Na álgebra linear, quando temos um conjunto de vetores, a dimensão do espaço que eles geram é o número de vetores linearmente independentes nesse conjunto. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 3

Agora, vamos verificar se V2 e V3 são linearmente independentes. Para isso, vamos ver se existe algum escalar k tal que V3 = k cdot V2 .
Vamos comparar as componentes:
V2 = (0,1,1) V3 = (4,-3,-7)
Se V3 = k cdot V2 , então:
0 cdot k = 4 Rightarrow k = indeterminado (não existe) 1 cdot k = -3 Rightarrow k = -3 1 cdot k = -7 Rightarrow k = -7 ã
Vemos que não existe um único valor de k que satisfaça todas as componentes. Isso significa que V2 e V3 não são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente independentes.

Passo 4

Como V2 e V3 são linearmente independentes, o espaço que eles geram tem dimensão 2. Isso quer dizer que esses dois vetores formam uma base para um plano no espaço tridimensional.

Resposta

A dimensão do espaço gerado por V2 e V3 é 2.

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