Considere os vetores:
Seja
a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Dimensão do espaço gerado por
e
.
Dimensão do espaço gerado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro vetores:
,
,
e
. A matriz
é formada por esses vetores como colunas. O que precisamos descobrir é a dimensão do espaço gerado por
e
. Basicamente, queremos saber quantas direções diferentes esses dois vetores apontam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “dimensão do espaço gerado”. Na álgebra linear, quando temos um conjunto de vetores, a dimensão do espaço que eles geram é o número de vetores linearmente independentes nesse conjunto. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
e
são linearmente independentes. Para isso, vamos ver se existe algum escalar
tal que
.
Vamos comparar as componentes:
Se
, então:
Vemos que não existe um único valor de
que satisfaça todas as componentes. Isso significa que
e
não são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente independentes.
Passo 4
Como
e
são linearmente independentes, o espaço que eles geram tem dimensão 2. Isso quer dizer que esses dois vetores formam uma base para um plano no espaço tridimensional.
Resposta
A dimensão do espaço gerado por
e
é 2.