Considere os vetores:
V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(4,-3,-7), V4=(0,1,1)
Seja A a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Encontre uma base para o espaço solução A X=0.
Escreva as coordenadas dos vetores da base de forma que a primeira coordenada não nula seja igual a 1.
Preencha as lacunas com as coordenadas dos vetores encontrados:
(1, square . square, square )
(0, square, square , square)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos quatro vetores no espaço tridimensional:
V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(4,-3,-7), V4=(0,1,1)
Queremos montar uma matriz A com esses vetores como colunas. A tarefa é encontrar uma base para o espaço solução da equação A X = 0 . Isso significa que vamos achar todos os vetores X que, quando multiplicados pela matriz A , resultam no vetor zero. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares e espaços nulos.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz A com as colunas dadas:
A = 1 & 0 & 4 & 0 1 & 1 & -3 & 1 0 & 1 & -7 & 1
Agora, queremos resolver a equação A X = 0 , onde X = (x1, x2, x3, x4)^top . Isso nos dá um sistema de equações lineares.

Passo 3

Vamos escrever o sistema de equações correspondente:
1x1 + 0x2 + 4x3 + 0x4 = 0 1x1 + 1x2 - 3x3 + 1x4 = 0 0x1 + 1x2 - 7x3 + 1x4 = 0
Nosso objetivo é encontrar os valores de x1, x2, x3 e x4 que satisfazem todas essas equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, observamos que a primeira equação já tem x1 isolado:
x1 + 4x3 = 0 implies x1 = -4x3
Agora, substituímos x1 nas outras equações.

Passo 5

Substituindo x1 = -4x3 na segunda equação:
-4x3 + x2 - 3x3 + x4 = 0 implies x2 - 7x3 + x4 = 0
E na terceira equação:
x2 - 7x3 + x4 = 0
Percebemos que as duas últimas equações são iguais, então temos apenas uma equação extra.

Passo 6

Vamos expressar x2 em termos de x3 e x4 :
x2 = 7x3 - x4
Agora, podemos escolher valores para x3 e x4 como parâmetros livres, já que eles não estão restritos.

Passo 7

Vamos definir x3 = t e x4 = s , onde t e s são números reais quaisquer. Assim, temos:
x1 = -4t x2 = 7t - s x3 = t x4 = s
Podemos escrever o vetor X em termos de t e s :
X = t -4 7 1 0 + s 0 -1 0 1
Isso significa que a base do espaço solução é formada pelos vetores -4 7 1 0 e 0 -1 0 1 .

Resposta

Os vetores da base são:
(1, 7, 1, 0 )
(0, -1, 0, 1 )

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