2^circ Questão ( 4 pontos): Calcule os seguintes limites:
lim x 0 |x|+3 x cdot(1+x)x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0|x|+3x(1+x)x
O conteúdo aqui é análise de limite de função que envolve valor absoluto. Para resolver, precisamos usar a definição de |x| em dois casos (quando x>0 e quando x<0) e calcular os limites laterais.

Passo 2

Para x>0 temos |x|=x. Então o numerador fica
|x|+3x(1+x)=x+3x+3x^2=4x+3x^2,
e a expressão é
4x+3x^2x=4+3x
Fazendo xto0^+, obtemos
limxto0^+|x|+3x(1+x)x=4+3cdot0=4

Passo 3

Para x<0 temos |x|=-x. Então o numerador fica
|x|+3x(1+x)=-x+3x+3x^2=2x+3x^2,
e a expressão é
2x+3x^2x=2+3x
Fazendo xto0^-, obtemos
limxto0^-|x|+3x(1+x)x=2+3cdot0=2

Passo 4

Como
limxto0^+|x|+3x(1+x)x=4 e limxto0^-|x|+3x(1+x)x=2
são diferentes, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto0|x|+3x(1+x)x não existe.

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