2^circ Questão ( 4 pontos): Calcule os seguintes limites:
lim x 4 3-raizx^2-x-3(2-x)+raizx

Passo 1

Resumo do enunciado: a questão pede o cálculo do limite limxto43-raizx^2 - x - 32-raizx. O conteúdo envolvido é limites de funções e a técnica de racionalização de expressões com raiz.

Passo 2

Verificação de forma indeterminada: ao substituir x=4 diretamente vemos que raiz4^2-4-3=raiz9=3, portanto o numerador fica 3-3=0, e o denominador 2-raiz4=2-2=0. Temos uma indeterminação 0/0, indicando que precisamos de algum truque algébrico.

Passo 3

Racionalização do numerador: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, por 3+raizx^2 - x - 3. Assim
block: “”"
3-raizx^2 - x - 32-raizx;=;(3-raizx^2 - x - 3)(3+raizx^2 - x - 3)(2-raizx)(3+raizx^2 - x - 3)

Passo 4

Resumo da diferença de quadrados no numerador:
block: “”"
3^2 - \bigl(\sqrt{x^2 - x - 3}\bigr)^2 = 9 - (x^2 - x - 3) = 12 - x^2 + x = -(x^2 - x - 12) = -(x - 4)(x + 3).
]
Portanto a expressão fica
block: “”"
\frac{-(x-4)(x+3)}{(2-\sqrt{x})\bigl(3+\sqrt{x^2 - x - 3}\bigr)}.
]

Passo 5

Fatoração de x-4: note que x-4 = (raizx-2)(raizx+2). Logo
block: “”"
\frac{-(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x+3)}{(2-\sqrt{x})\bigl(3+\sqrt{x^2 - x - 3}\bigr)}.
]

Passo 6

Cancelamento com o denominador: como 2-raizx=-(raizx-2), obtemos
block: “”"
\frac{(\sqrt{x}+2)(x+3)}{3+\sqrt{x^2 - x - 3}}.
]

Passo 7

Substituindo x=4:
block: “”"
\frac{(2+2)(4+3)}{3+3} = \frac{4\cdot7}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}.
]

Resposta

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