Questão ( 4 pontos): Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Resumo do enunciado: a questão pede o cálculo do limite
. O conteúdo envolvido é limites de funções e a técnica de racionalização de expressões com raiz.
Passo 2
Verificação de forma indeterminada: ao substituir
diretamente vemos que
, portanto o numerador fica
, e o denominador
. Temos uma indeterminação
, indicando que precisamos de algum truque algébrico.
Passo 3
Racionalização do numerador: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, por
. Assim
block: “”"
block: “”"
Passo 4
Resumo da diferença de quadrados no numerador:
block: “”"
3^2 - \bigl(\sqrt{x^2 - x - 3}\bigr)^2 = 9 - (x^2 - x - 3) = 12 - x^2 + x = -(x^2 - x - 12) = -(x - 4)(x + 3).
]
block: “”"
3^2 - \bigl(\sqrt{x^2 - x - 3}\bigr)^2 = 9 - (x^2 - x - 3) = 12 - x^2 + x = -(x^2 - x - 12) = -(x - 4)(x + 3).
]
Portanto a expressão fica
block: “”"
\frac{-(x-4)(x+3)}{(2-\sqrt{x})\bigl(3+\sqrt{x^2 - x - 3}\bigr)}.
]
block: “”"
\frac{-(x-4)(x+3)}{(2-\sqrt{x})\bigl(3+\sqrt{x^2 - x - 3}\bigr)}.
]
Passo 5
Fatoração de
: note que
. Logo
block: “”"
\frac{-(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x+3)}{(2-\sqrt{x})\bigl(3+\sqrt{x^2 - x - 3}\bigr)}.
]
block: “”"
\frac{-(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x+3)}{(2-\sqrt{x})\bigl(3+\sqrt{x^2 - x - 3}\bigr)}.
]
Passo 6
Cancelamento com o denominador: como
, obtemos
block: “”"
\frac{(\sqrt{x}+2)(x+3)}{3+\sqrt{x^2 - x - 3}}.
]
block: “”"
\frac{(\sqrt{x}+2)(x+3)}{3+\sqrt{x^2 - x - 3}}.
]
Passo 7
Substituindo
:
block: “”"
\frac{(2+2)(4+3)}{3+3} = \frac{4\cdot7}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}.
]
block: “”"
\frac{(2+2)(4+3)}{3+3} = \frac{4\cdot7}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}.
]