Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
x^3-1 e x^3+1;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões ;x^3 - 1; e ;x^3 + 1;. O conteúdo que vamos usar é a fatoração de diferença de cubos e de soma de cubos. Precisamos lembrar dessas fórmulas:
x^3 - a^3 = (x - a),(x^2 + a x + a^2),
x^3 + a^3 = (x + a),(x^2 - a x + a^2)

Passo 2

Para fatorar ;x^3 - 1; usamos a fórmula de diferença de cubos com a = 1:
x^3 - 1^3 = (x - 1),(x^2 + 1cdot x + 1^2)
Como 1cdot x = x e 1^2 = 1, obtemos
x^3 - 1 = (x - 1),(x^2 + x + 1)

Passo 3

Para fatorar ;x^3 + 1; usamos a fórmula de soma de cubos com a = 1:
x^3 + 1^3 = (x + 1),(x^2 - 1cdot x + 1^2)
Como 1cdot x = x e 1^2 = 1, obtemos
x^3 + 1 = (x + 1),(x^2 - x + 1)

Resposta

x^3 - 1 = (x - 1),(x^2 + x + 1),
x^3 + 1 = (x + 1),(x^2 - x + 1)

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