Ex. 3. Fatore as expressões algébricas abaixo:
(a^2-1)(b^2-1)+4 a b.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
(a^2-1)(b^2-1)+4ab
O conteúdo que vamos usar envolve expansão de produtos notáveis e a identidade de diferença de quadrados, que diz que
X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)

Passo 2

Primeiro, expandimos (a^2-1)(b^2-1):
(a^2-1)(b^2-1)=a^2b^2-a^2-b^2+1
Então a expressão vira
a^2b^2-a^2-b^2+1+4ab=a^2b^2+4ab+1 -a^2-b^2

Passo 3

Perceba o padrão
a^2b^2+4ab+1 -a^2-b^2
pode ser visto como
(ab+1)^2 - (a - b)^2
De fato,
(ab+1)^2=a^2b^2+2ab+1, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,
e subtraindo obtemos
(a^2b^2+2ab+1)-(a^2-2ab+b^2) =a^2b^2+4ab+1 -a^2-b^2

Passo 4

Agora aplicamos a diferença de quadrados com
X=ab+1, Y=a-b,
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X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)
Substituindo,
(ab+1)^2-(a-b)^2 =l[(ab+1)-(a-b)r];l[(ab+1)+(a-b)r]

Passo 5

Basta simplificar cada fator:
(ab+1)-(a-b)=ab+1-a+b=ab -a +b +1,
(ab+1)+(a-b)=ab+1+a-b=ab +a -b +1
Portanto a fatoração final é
(ab -a +b +1)(ab +a -b +1)

Resposta

(ab -a +b +1)(ab +a -b +1)

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