Resolver as inequações em R.
|52 x-1| >=|1x-2|

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação envolvendo valores absolutos
|52x-1|>=|1x-2|
O conteúdo aqui é inequações com módulo e expressões racionais, e vamos precisar determinar o domínio da inequação antes de manipular os módulos.

Passo 2

Detectamos que as expressões racionais não fazem sentido quando seus denominadores são zero. Logo, excluímos
2x-1=0implies x=tfrac12 e x-2=0implies x=2
Portanto o domínio é Rsetminustfrac12,2.

Passo 3

Como l|2x-1r| e l|x-2r| são sempre não negativas e só se anulam nos pontos excluídos, podemos multiplicar os dois lados de
|52x-1|>=|1x-2|
por l|2x-1r|cdotl|x-2r|>0 sem inverter o sinal, obtendo
l|5(x-2)r|>=l|2x-1r|

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade de valores absolutos, temos
l|5x-10r|>=l|2x-1r|

Passo 5

A técnica mais direta é elevar ao quadrado ambos os lados (já que lvert Arvert>=lvert Brvertiff A^2>= B^2). Assim consideramos
(5x-10)^2 - (2x-1)^2 >= 0

Passo 6

Calculamos a diferença de quadrados:
(5x-10)^2 - (2x-1)^2 = l(25x^2 -100x +100r) - l(4x^2 -4x +1r) =21x^2 -96x +99
Logo resolvemos a inequação quadrática
21x^2 -96x +99 >= 0
O discriminante é De<a =(-96)^2 -4cdot21cdot99=900, com raízes
x = 96pm3042;Longrightarrow;x=117ou x=3
Como o coeficiente de x^2 é positivo, o polinômio é não negativo para
x<= tfrac117 ou x>= 3

Passo 7

Unindo esse resultado ao domínio Rsetminustfrac12,2, vemos que x=tfrac12 já estava fora, e x=2 cai na região tfrac117<x<3, que não faz parte da solução. Portanto a solução final é
(-infty,tfrac12);cup;(tfrac12,tfrac117];cup;[3,infty)

Resposta

(-infty,tfrac12);cup;(tfrac12,tfrac117];cup;[3,infty)

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