2^{\circ} ) Sejam A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 2 & 2\end{array}\right] e P=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]. Determine a matriz D tal que D=P^{-1} A P

Passo 1

O enunciado dá
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -2 & 1\end{pmatrix}
e pede D = P^{-1} A P. O conteúdo é diagonalização: se as colunas de P são autovetores de A, então
A\,P = P\,D
e assim D = P^{-1}AP será diagonal com os autovalores de A.

Passo 2

Verificamos que P é invertível calculando o determinante:
\det(P) = 1\cdot1 - 1\cdot(-2) = 3 \neq 0.
Logo P^{-1} existe.

Passo 3

Denotemos as colunas de P por
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculamos
A\,v_1 = \begin{pmatrix}3\cdot1 + 1\cdot(-2)\\\ 2\cdot1 + 2\cdot(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} = 1\,v_1,
A\,v_2 = \begin{pmatrix}3\cdot1 + 1\cdot1\\\ 2\cdot1 + 2\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\\ 4\end{pmatrix} = 4\,v_2.
Portanto
A\,P = \bigl[A\,v_1,\;A\,v_2\bigr] = \bigl[1\,v_1,\;4\,v_2\bigr] = P \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Multiplicando à esquerda por P^{-1} em A\,P = P\,D, obtemos
P^{-1}A\,P = D
com
D = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

Resposta

D = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

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