Estabeleça as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
passa pelo ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação: r: \frac{x+2}{-5}=\frac{y+4}{3}=\frac{z-1}{2};

Passo 1

O enunciado pede as formas vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida da reta que passa por A(2,1,0) e é paralela à reta
r:\frac{x+2}{-5}=\frac{y+4}{3}=\frac{z-1}{2}.
Estamos em Geometria Analítica 3D. Para isso precisamos extrair o vetor direção da reta dada e, em seguida, escrever a reta que passa por A com esse mesmo vetor direção.

Passo 2

Da forma
\frac{x+2}{-5}=\frac{y+4}{3}=\frac{z-1}{2}=t
vemos que um ponto genérico de r é
(x,y,z)=(-2,-4,1)+t(-5,3,2),
logo o vetor direção é
\mathbf{v}=(-5,3,2).

Passo 3

A equação vetorial da reta buscada é simplesmente o ponto A(2,1,0) mais o parâmetro vezes \mathbf{v}:
\mathbf{r}(t)=(2,1,0)+t(-5,3,2).

Passo 4

As equações paramétricas seguem das componentes:
x=2-5t,\quad y=1+3t,\quad z=0+2t.

Passo 5

Eliminando t nas três equações, obtemos a forma simétrica:
\frac{x-2}{-5}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{2}.

Passo 6

Na forma reduzida expressamos y e z em função de x. De x=2-5t vem t=\frac{2-x}{5}. Substituindo:
y=1+3\Bigl(\frac{2-x}{5}\Bigr)= -\frac{3}{5}x+\frac{11}{5},\quad z=2\Bigl(\frac{2-x}{5}\Bigr)=-\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(t)=(2,1,0)+t(-5,3,2).
Equações paramétricas:
x=2-5t,\quad y=1+3t,\quad z=2t.
Forma simétrica:
\frac{x-2}{-5}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{2}.
Forma reduzida:
y=-\tfrac{3}{5}x+\tfrac{11}{5},\quad z=-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{4}{5}.

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