Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
Se \vec{u}=\vec{v}, então |\vec{u}|=|\vec{v}|;

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se a afirmação “Se \vec{u}=\vec{v}, então |\vec{u}|=|\vec{v}|” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é a definição de igualdade de vetores e a definição de norma (módulo) de um vetor em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Suponha que \vec{u}=\vec{v} em \mathbb{R}^n. Então, por definição de igualdade de vetores, cada componente satisfaz
u_i = v_i \quad\text{para todo }i=1,2,\dots,n.
A norma (módulo) de um vetor \vec{w}=(w_1,\dots,w_n) é dada por
|\vec{w}| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + \cdots + w_n^2}.
Logo,
|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2} \quad\text{e}\quad |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}.
Como u_i = v_i para todo i, segue-se que
u_1^2 + \cdots + u_n^2 = v_1^2 + \cdots + v_n^2 \quad\Longrightarrow\quad |\vec{u}| = |\vec{v}|.

Resposta

Verdadeira.

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