5^{\circ} ) Usando as regras básicas de integração, calcule as seguintes primitivas (integrais indefinidas):
\int(5 \cos (x)-2 \sin (x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida)
\int \bigl(5\cos(x) - 2\sin(x)\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a aplicação das regras básicas de integração: a linearidade da integral e as integrais fundamentais
\int \cos(x)\,dx = \sin(x)
e
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar o problema em duas partes:
\int \bigl(5\cos(x) - 2\sin(x)\bigr)\,dx = 5\int \cos(x)\,dx \;-\; 2\int \sin(x)\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos as integrais conhecidas:
Para \int \cos(x)\,dx temos
\int \cos(x)\,dx = \sin(x).
Para \int \sin(x)\,dx temos
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 4

Substituindo de volta na expressão do Passo 2:
5\int \cos(x)\,dx = 5\sin(x),
-2\int \sin(x)\,dx = -2\bigl(-\cos(x)\bigr) = 2\cos(x).
Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
5\sin(x) + 2\cos(x) + C.

Resposta

\int \bigl(5\cos(x) - 2\sin(x)\bigr)\,dx = 5\sin(x) + 2\cos(x) + C.

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