5^{\circ} ) Usando as regras básicas de integração, calcule as seguintes primitivas (integrais indefinidas):
\int\left(6 \sqrt{x}+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
\displaystyle \int\bigl(6\sqrt{x}+\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a linearidade da integral e a regra da potência para integrar funções do tipo \,x^n.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos \sqrt{x} como x^{1/2} e 1/x^3 como x^{-3}, e usamos a linearidade da integral:
\int\bigl(6x^{1/2}+x^{-3}\bigr)\,dx = \int 6x^{1/2}\,dx + \int x^{-3}\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência
\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).
Para o primeiro termo:
\int 6x^{1/2}\,dx =6\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} =6\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} =4x^{3/2}.
Para o segundo termo:
\int x^{-3}\,dx =\frac{x^{-2}}{-2} =-\tfrac{1}{2}x^{-2} =-\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 4

Somando as duas primitivas e adicionando a constante C, obtemos:
4x^{3/2}-\frac{1}{2x^{2}}+C.

Resposta

4x^{3/2}-\frac{1}{2x^{2}}+C.

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