5^{\circ} ) Usando as regras básicas de integração, calcule as seguintes primitivas (integrais indefinidas):
\int\left(4 e^{x}-\frac{3}{x^{5}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) de
4e^x - \frac{3}{x^5}.
O conteúdo usado aqui é a linearidade da integral, a regra de potência para \int x^n dx e a fórmula \int e^x dx = e^x.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes usando a linearidade:
\int\Bigl(4e^x - 3x^{-5}\Bigr)\,dx = \int 4e^x\,dx - \int 3x^{-5}\,dx.

Passo 3

Calculemos \int 4e^x\,dx. Como \int e^x dx = e^x, obtemos
\int 4e^x\,dx = 4e^x.

Passo 4

Calculemos \int 3x^{-5}\,dx. Pela regra de potência,
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1),
aqui n=-5. Logo,
\int 3x^{-5}\,dx =3\cdot\frac{x^{-5+1}}{-5+1} =3\cdot\frac{x^{-4}}{-4} =-\frac{3}{4}x^{-4}.

Passo 5

Voltando à integral original, temos
\int\Bigl(4e^x - 3x^{-5}\Bigr)\,dx =4e^x \;-\;\Bigl(-\tfrac{3}{4}x^{-4}\Bigr)+C =4e^x + \frac{3}{4}x^{-4} + C.

Resposta

4e^x + \frac{3}{4}x^{-4} + C

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