5^{\circ} ) Usando as regras básicas de integração, calcule as seguintes primitivas (integrais indefinidas):
\int\left(\frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \biggl(\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{x^{2}}\biggr)\,dx.
O conteúdo aqui é a aplicação das regras básicas de integração (regra da soma e da potência). Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica dividindo cada termo por x^2.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando termo a termo:
\frac{x^{3}}{x^{2}} = x, \qquad \frac{2x^{2}}{x^{2}} = 2, \qquad \frac{-1}{x^{2}} = -\,x^{-2}.
Logo
\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{x^{2}} = x + 2 - x^{-2}.

Passo 3

Agora aplicamos a integração termo a termo:
  1. \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  2. \displaystyle \int 2\,dx = 2x.
  3. \displaystyle \int \bigl(-x^{-2}\bigr)\,dx = -\int x^{-2}\,dx = -\bigl(\tfrac{x^{-1}}{-1}\bigr) = x^{-1}.

Passo 4

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int \bigl(x + 2 - x^{-2}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 2x + x^{-1} + C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} + 2x + \frac{1}{x} + C.

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