) Use indução para mostrar que
para
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que para todo
e todo
vale
O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática aplicado à soma geométrica.
Passo 2
Base (
).
À esquerda temos
À esquerda temos
e à direita
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo.
Suponha que para um certo tenhamos
Suponha que para um certo
Precisamos mostrar que então
Começamos com a soma estendida:
Pela hipótese indutiva,
E
, que é justamente o lado direito para
.
Passo 4
Pelo princípio da indução matemática, a identidade vale para todo
.
Resposta
A fórmula
está provada para todos
.