8^circ ) Use indução para mostrar que
(a-1)(1+a+a^2+cdots+a^n)=a^n+1-1 para a, n in N.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que para todo ainN e todo ninN vale
(a-1)l(1 + a + a^2 + cdots + a^nr) ;=; a^n+1 - 1
O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática aplicado à soma geométrica.

Passo 2

Base ( n=0).
À esquerda temos
(a-1)l(1+cdots+a^0r) = (a-1)cdot1 = a-1,
e à direita
a^0+1-1 = a^1 - 1 = a-1
Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo.
Suponha que para um certo n>=0 tenhamos
(a-1)l(1 + a + cdots + a^nr) = a^n+1 - 1
Precisamos mostrar que então
(a-1)l(1 + a + cdots + a^n + a^n+1r) = a^(n+1)+1 - 1
Começamos com a soma estendida:
(a-1)l(1 + cdots + a^n + a^n+1r) = (a-1)l(1 + cdots + a^nr) + (a-1)a^n+1
Pela hipótese indutiva,
= l(a^n+1-1r) + (a-1)a^n+1 = a^n+1 - 1 + a^n+2 - a^n+1 = a^n+2 - 1
E a^n+2 - 1 = a^(n+1)+1 - 1, que é justamente o lado direito para n+1.

Passo 4

Pelo princípio da indução matemática, a identidade vale para todo ninN.

Resposta

A fórmula
(a-1)l(1 + a + a^2 + cdots + a^nr) = a^n+1 - 1
está provada para todos a,ninN.

Exercícios relacionados